UFSCAR, Sem Campus, Séries e Equações Diferenciais, Simulados 2021.1 - Simulado 14, Questão 6
Qual das séries abaixo representa uma solução para:
com condições iniciais e .
Passo 1
Eaí gente, tudo na paz?
Nessa questão nos foi dada a EDO:
com as condições iniciais e .
O enunciado pede pra gente encontrar a série que seja solução da EDO acima.
Tranquilo?!
Vamo dar uma resumida no passo a passo que vamos fazer pra resolver a EDO usando o método das séries:
Supomos que a solução da EDO é uma série de potências centralizada em , dada por:
Após derivarmos , substituímos na EDO
Juntamos os somatórios
Colocamos a potência de em evidência
Encontramos a relação de recorrência
Generalizamos para qualquer
Encontramos a série que é solução da EDO 😊
Perfeito! Agora que revisamos, vamos lá olhar com calma cada uma dessas etapas.
Passo 2
Bom, primeiramente devemos supor que:
é solução da EDO.
Assim, iremos derivar para substituir lá na EDO.
(obs: quando derivamos a expressão, o termo que era apenas uma constante, foi zerado).
Para substituir na EDO, precisamos derivar mais uma vez. Assim:
Perfeito! (Dá uma olhadinha no índice do somatório mais uma vez 😊).
Assim, vamos substituir na EDO:
A próxima etapa é juntarmos os somatórios.
Para isso, precisamos que os expoentes de estejam conversando sabe?
Temos um e um . Para fazer o primeiro termo se igualar ao segundo, podemos trocar:
Substituindo:
Perfeito! Como os subíndices do somatório estão começando do mesmo ponto, já podemos juntá-los:
Colocando em evidência, temos:
Como o está variando, quem precisa zerar é o termo que o multiplica!
Assim, encontramos a nossa relação de recorrência:
Portanto:
Muito bom!
Passo 3
A próxima etapa é generalizar para qualquer .
Para fazer isso, vamos calcular alguns valores de . Começando pelas nossas condições iniciais:
Como:
Temos que:
Usando agora que:
Já que:
Teremos:
Portanto:
Perfeito!
Voltando para a relação de recorrência:
Se , temos:
Olha aí gente, conseguiram perceber o que tá acontecendo?
Sempre que , tal que é ímpar, então:
Sempre que é tal que é par, então:
Assim, podemos escrever como:
Perfeito! Essa é a generalização de .
Assim, podemos voltar para a nossa série original:
Vamos separá-la nos termos pares e ímpares:
Como os coeficientes , ficamos apenas com:
Substituindo vem:
Aeeee! Prontinho gente, encontramos a resposta.
Conseguiram entender? Responde Aí!