Nos problema de 1 a 14, resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os quatro primeiros termos em cada uma das suas soluções linearmente independentes (a menos que a série termine antes). Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
Passo 1
Como o problema pede, vamos solucionar o problema definindo como uma série centrada em . Antes de tudo, precisamos verificar se o ponto é ordinário. Temos, nesse caso, e Logo, é ordinário, podemos usar o método aqui então.
Passo 2
Vamos, então, definir:
Fazendo essas substituições na EDO, temos:
Colocando os valores de para dentro do somatório
Passo 3
Precisamos, agora, igualar as potências de por . A única potencia que não está é a
Temos:
Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice (nesse caso, ).
Temos, então:
Passo 4
Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.
Como o somatório deve passar a começar em , colocamos para fora os termos correspondentes a e . Vamos fazer o mesmo as outras séries:
Temos, então:
Passo 5
Vamos, então, juntar os somatórios colocando em evidência e agrupar os termos “soltos”.
Passo 6
Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.
Os coeficientes de cada termo “solto”, fora do somatório também devem ser zero.
Encontramos nossa relação de recorrência.
Passo 7
Vamos agora, calcular alguns ’s.
Nós podemos saber que a relação entre os termos é feita de em por que a relação de recorrência associa termos a , mas aqui nem precisaremos disso, veja:
Daí em diante, todos os termos serão iguais a zero, pois a sua expressão depende de outro termo anterior que é zero. Portanto, a série é finita.
Passo 8
Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o .
Substituindo as expressões que encontramos para os ’s, termos