Séries de potências
Considere o problema de valor inicial abaixo:
Considere ainda a expansão em série de potências da solução:
Determine .
Passo 1
A equação tem agora um termo não-homegêneo . E isso altera a fórmula de recorrência em relação a se não houvesse parte não-homogênea. O termo de grau zero da equação continua sendo o mesmo.
Vamos primeiro escrever a solução em forma de série de potências:
E agora vamos calcular suas derivadas e , pra substituir na equação!
Passo 2
E substituindo na equação:
Agora substituindo na primeira série e nas outras, teremos:
O termo de grau zero nos dará:
E o termo de grau 1 nos dará:
E como , então: .
O termo de grau 2 nos dará:
E como , teremos:
Passo 3
A partir do grau 3, a fórmula de recorrência é a mesma do caso sem parte não-homogênea.
Teremos, portanto: