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Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

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Enunciado

Considere a equação

x 2 - x y ' ' + x + 2 y ' + 2 y = e x - 1

( a ) Mostre que x 0 = 1 é um ponto ordinário dessa equação.

( b ) Determine a relação de recorrência da solução em séries dessa equação em torno desse ponto.

( c ) Determine uma cota inferior para o raio de convergência da série encontrada em ( b ) .

Passo 1

( a )

Sabendo que dada uma EDO do tipo:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = G x

Os pontos ordinários são os pontos nos quais as funções Q ( x ) / P ( x ) e R ( x ) / P ( x ) são analíticas.

Já que P x ,   Q ( x ) e R ( x ) são polinômios, então os pontos que não são raízes de P ( x ) são pontos ordinários, porque assim o denominador será diferente de 0 .

Portanto, x 0 = 1 é ordinário pois ele não é uma raiz de P ( x ) .

Passo 2

( b )

Como queremos uma série de potências centrada em x = 1 , vamos supor uma solução da forma:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n

Agora calculamos suas derivadas:

y ' = ∑ n = 1 ∞ a n n x - 1 n - 1

y ' ' = ∑ n = 2 ∞ a n n ( n - 1 ) x - 1 n - 2

Agora, precisamos colocar essas relações na EDO, mas antes, precisamos escrever os coeficientes de y em potências de ( x - 1 ) :

P x = x 2 - x = 2 x - x 2 = 1 - x - 1 2

Q x = x + 2 = x - 1 + 3

G x = e x - 1 = ∑ n = 0 ∞ x - 1 n n !

Logo:

x 2 - x y ' ' + x + 2 y ' + 2 y = e x - 1           →

( 1 - x - 1 2 ) )   ∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x - 1 n - 2 ⏟ I + ( x - 1 + 3 ) ∑ n = 1 ∞ a n n x - 1 n - 1 ⏟ I I + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n ⏟ I I I = ∑ n = 0 ∞ x - 1 n n !

Passo 3

Agora vamos reduzir todos os ( x - 1 ) das séries a x - 1 n , ajeitando o índice n :

Vamos começar com a primeira série I :

1 - x - 1 2 ∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x - 1 n - 2 = ∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x - 1 n - 2 - ∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x - 1 n

Trocando n por n + 2 no primeiro somatório

= ∑ n = 0 ∞ a n + 2 ( n + 2 ) ( n + 1 ) x - 1 n - ∑ n = 2 ∞ a n n ( n - 1 ) x - 1 n

Fazendo essas séries começar do mesmo ponto...

= 2 a 2 + 6 a 3 x - 1 + ∑ n = 2 ∞ a n + 2 ( n + 2 ) ( n + 1 ) x - 1 n - ∑ n = 2 ∞ a n n ( n - 1 ) x - 1 n

Passo 4

Próximo termo (série I I ):

x - 1 + 3 ∑ n = 1 ∞ a n n x - 1 n - 1 = x - 1 ∑ n = 1 ∞ a n n x - 1 n - 1 + 3 ∑ n = 1 ∞ a n n x - 1 n - 1

= ∑ n = 1 ∞ a n n x - 1 n + 3 ∑ n = 1 ∞ a n n x - 1 n - 1

Trocando n por n + 1 no segundo somatório

= ∑ n = 1 ∞ a n n x - 1 n + 3 ∑ n = 0 ∞ a n + 1 n + 1 x - 1 n

= a 1 x - 1 + ∑ n = 2 ∞ a n n x - 1 n + 3 a 1 + 6 a 2 x - 1 + 3 ∑ n = 2 ∞ a n + 1 ( n + 1 ) x - 1 n

Passo 5

série I I I :

2 ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n = 2 a 0 + 2 a 1 x - 1 + 2 ∑ n = 2 ∞ a n x - 1 n

Passo 6

Último termo (série de Taylor):

∑ n = 0 ∞ x - 1 n n ! = 1 + x - 1 + ∑ n = 2 ∞ x - 1 n n !

Passo 7

Agora sim! Vamos substituir na EDO:

x 2 - x y ' ' + x + 2 y ' + 2 y = e x - 1    

1 - x - 1 2 ∑ n = 2 ∞ a n n ( n - 1 ) x - 1 n - 2 + x - 1 + 3 ∑ n = 1 ∞ a n n x - 1 n - 1 + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n = 1 + x - 1 + ∑ n = 2 ∞ x - 1 n n !

2 a 2 + 6 a 3 x - 1 + ∑ n = 2 ∞ a n + 2 n + 2 n + 1 x - 1 n - ∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x - 1 n + a 1 x - 1 + ∑ n = 2 ∞ a n n x - 1 n + 3 a 1 + 6 a 2 x - 1 + 3 ∑ n = 2 ∞ a n + 1 n + 1 x - 1 n + 2 a 0 + 2 a 1 x - 1 + 2 ∑ n = 2 ∞ a n x - 1 n = 1 + x - 1 + ∑ n = 2 ∞ x - 1 n n !

Organizando:

2 a 2 + 3 a 1 + 2 a 0 + x - 1 6 a 3 + 3 a 1 + 6 a 2 + ∑ n = 2 ∞ x - 1 n a n + 2 n + 2 n + 1 + 3 a n + 1 n + 1 + a n 2 - n 2 = 1 + x - 1 + ∑ n = 2 ∞ x - 1 n n !

Passo 8

Igualando coeficientes:

2 a 2 + 3 a 1 + 2 a 0 = 1

6 a 3 + 3 a 1 + 6 a 2 = 1

a n + 2 n + 2 n + 1 + 3 a n + 1 n + 1 + a n 2 - n 2 + 2 n = 1 n !

Passo 9

( c )

Uma cota inferior para o raio de convergência será a menor distância entre x 0 e as raízes de P ( x ) . Portanto:

P x = 0 → x = 0   o u   x = 2

min ⁡ { 1 - 0 , 1 - 2 } = 1

Resposta

b   2 a 2 + 3 a 1 + 2 a 0 = 1 6 a 3 + 3 a 1 + 6 a 2 = 1 a n + 2 n + 2 n + 1 + 3 a n + 1 n + 1 + a n 2 - n 2 + 2 n = 1 n !

( c ) min ⁡ { 1 - 0 , 1 - 2 } = 1

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