Determine a relação de recorrência da solução em séries dessa equação em torno deste ponto.
Determine uma cota inferior para o raio de convergência da série encontrada em (b).
Passo 1
Começamos com a letra (a). A nossa equação é da forma:
Para que seja um ponto ordinário, precisamos que .
Como, por comparação, temos:
Então, segue que:
Portanto, trata-se um ponto ordinário.
Passo 2
Legal, vamos para a letra (b) agora. Para não termos que supor que a solução é da forma:
Vamos fazer a substituição , ficando:
E também, na EDO:
Legal, agora para determinar a recorrência, precisamos substituir na EDO. Para isso, determinamos as derivadas:
Lembre-se que o contador avança uma unidade para cada vez que derivamos! Para a segunda derivada:
Agora, podemos substituir na EDO:
Sendo:
Vamos agora jogar o para dentro do somatório. Para o somatório mais à esquerda:
Para o somatório do meio:
Agora, para o somatório mais à direita:
Agora, devemos deixar todos os somatórios com o mesmo grau redefinindo o índice por um :
Agora colocamos todos esses somatórios (6 :O) no maior índice que aparece, no caso, :
Próximo!
Olha só mais um aqui:
Quase lá hein!
O último agora:
Legal, então temos que substituir isso tudo na EDO:
Então, agora que os índices e os graus são iguais, podemos juntar os somatórios deixando o em evidência:
Vamos olhar agora para dentro do somatório e juntar os termos:
Assim, teremos, para todo :
Juntamos os termos de mesmo grau fora do somatório também:
Assim, novamente, para :
E para :
Portanto, nossa relação de recorrência vai ser:
UFA!
Passo 3
Mas ainda falta a letra (c). Com paz no coração, vamos lá! A cota inferior vai ser dada pelo ponto onde temos um ponto singular . No nosso caso, temos:
Assim:
No caso, temos , então:
Logo, uma cota inferior para o raio de convergência é .
