UNICAMP - (Cálculo 3) - P2 2020.1
Considere o seguinte problema de valor inicial:
- Mostre que é um ponto ordinário.
- Obtenha os primeiros termos não nulos da solução em série em torno do ponto .
Passo 1
Falai galera, tudo certinho? Pra começar vamos provar que é um ponto ordinário. Como geralmente a gente conversa sobre pontos ordinários em EDO’s com essa cara:
E temos essa EDO:
Pô, então podemos comparar um com o outro e obter:
Show de bola! E galera, basta pra que seja de fato um ponto ordinário! Como é diferente de zero mesmo, então tá na mão, provadíssimo, que é um ponto ordinário. Nesse caso, a solução do problema será:
Passo 2
Antes de mais nada, vamos ver a condição de contorno, ok? Ela vai acabar nos ajudando a beça! Veja que, se fizermos na EDO, achamos:
Só que, como é uma série de potência, temos que, se:
Suas derivadas serão:
Portanto temos ai na mão os três primeiros termos da série:
Logo:
Show! A questão pede na verdade os primeiros termos, então falta achar até termos 7 não nulos.
Passo 3
Show galera! Um bom começo é ver que se a solução tem aquela cara de série de potências e a EDO tem derivadas primeira e segunda, vamos precisar derivar o somatório! Vamos obter então:
E colocando todos eles dentro da EDO, temos:
Nos dois últimos somatórios eu vou pôr o que ta multiplicando do lado de fora pra dentro, ok? No primeiro vou fazer isso também, mas vou primeiro aplicar a distributiva. Obteremos:
Beleeeeza, agora óia só. Tem somatório demais. Bora reduzir isso ai e colocar tudo num somatório só. Podemos deixar os três últimos com a mesma potência do primeiro, isto é, . Pro primeiro somatório, substituindo , ficamos com:
Para todos os outros somatórios, bora fazer , de forma a obter:
O que resulta em:
Colocando os somatórios substituídos na EDO, achamos:
Show! Agora pra gente terminar de juntar os somatórios falta só colocarmos todos eles começando no mesmo . Pra isso, abrimos o primeiro somatório para:
Abrindo o terceiro somatório:
E abrindo o último, temos:
Juntando tudo, temos:
O que gera o seguinte sisteminha:
Passo 4
Show galera, agora vamos trabalhar com aquele sisteminha. Veja que em:
Se usarmos , de fato, temos uma solução pra essa equação. Mas sendo ela uma solução trivial, vamos ver em que outros casos a equação é válida. Oras! Se as constantes multiplicando e forem, tá valendo! Partiu:
O que resulta em:
Agora pra relação de recorrência mesmo, temos:
Dividindo dos dois lados por , simplificamos um pouco. Depois disso, basta passar pra direita dividindo e temos nossa linda e amada relação de recorrência
Agora vem comigo. Tínhamos , certo? E já achamos não nulos. Como a questão pede os primeiros não nulos, falta achar deles! Fazemos então, pra :
E ta na mão! Alguns acabaram zerando mas mesmo assim deu pra gente fechar a questão! Os 7 primeiros não nulos são:
Resposta
Passo 1 prova que é um ponto ordinário e os sete primeiros termos não nulos são: