Uma massa de desloca de para baixo uma mola. partindo da posição de equilíbrio, damos ao sistema massa-mola uma velocidade inicial de para baixo. O meio tem constante de amortecimento . Encontre a função que descreve a posição da massa em função do tempo

A segunda lei de Newton nos diz que

a aceleração é a segunda derivada da posição no tempo, e portanto, temos que

A força resultante neste caso será o peso apontando para baixo, a força de atrito proporcional a velocidade que sempre aponta no sentido contrário ao movimento, e a força restauradora da mola ao ser contraída, usando as fórmulas conhecidas para cada uma destas forças, temos que

Note que usei a velocidade como a derivada da posição! Antes de analisarmos as condições iniciais! Vamos ter que analisar um pouco a posição de equilíbrio! Saca só!

O enunciado nos dá a informação que a massa de , pressiona (ou estica, não faz diferença) a mola em , portanto, no equilíbrio, temos que a seguinte igualdade é verdade

note que o corpo está parado na posição de equilíbrio, então a velocidade e a aceleração são nulas. Desta forma, se usarmos (Porquê é mais fácil fazer conta), temos a constante da mola como

ou, simplesmente, temos que . Como temos que o amortecimento do meio é , provavelmente este será um caso de amortecimento subcrítico. Mas vamos checar isso mais para frente, belezinha?

O enunciado também nos dá informações sobre as condições iniciais que o sistema precisa obedecer, temos que partir da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial nos indica que

e

Nós também podemos fazer uma escolha diferente de referencial de forma que a condição inicial da posição seja em . Mas isso não é necessário! Vamos tentar resolver a partir daqui! Primeiro, vamos dividir a nossa equação diferencial toda por , temos que

ou simplesmente

Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo não homogêneo constante. Lembra como resolver uma equação deste tipo? Vem comigo!

A primeira coisa que fazemos é escrever o polinômio característico como

Usando Bhaskara, temos que as raízes são

Precisamos comparar os valores de e para sabermos como será a nossa solução, usando que e . Obtemos que

ou simplificando, temos que

e

Ou seja, podemos escrever a solução da parte homogênea como

que é o formato típico para uma amortecimento supercrítico! Vamos fazer agora a parte não-homogênea e aplicar as condições iniciais!

A parte não homogênea pode ser encontrada mais facilmente pelo menos de coeficientes a determinar, note que como temos que a nossa parte não homogênea é simplesmente uma constante, podemos propor uma solução particular da forma

simplesmente uma constante. Sendo assim, a equação diferencial se torna

ou, isolando a nossa constante, temos que

E portanto, a solução particular é da forma

e, portanto, a solução da nossa equação diferencial é

Maravilha! Agora é só aplicar as condições iniciais! Bora lá!

Temos as condições iniciais como

e

avaliando a condição sobre a posição, temos que

como temos que , podemos escrever que

ou simplesmente

O que nos diz a outra condição inicial? Ela é uma condição inicial sobre a derivada da função , portanto, precisamos derivar a solução que obtivemos, bora lá!

Para derivar a nossa função, podemos simplesmente lembrar que

desta forma, a nossa derivada é

Usando agora que , podemos escrever que

que nos dá a segunda equação necessária como

Vamos resolver o sisteminha de equações! Bora lá!

Temos duas equações para obtermos as constantes, da equação

podemos isolar e obter que . Usando este resultado na equação

obtemos que

Dividindo tudo por (por simplicidade), temos que

Podemos distribuir os produtos no lado esquerdo de forma a obter

Juntando os termos com , podemos isolá-lo como

Agora, usando que , temos que

Maravilha! Finalmente, nossa solução é simplesmente

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!