Séries de potências
Considere a equação diferencial e:
- Mostre que, para qualquer solução em série de potências, .
- Mostre que e que .
- Achar os 10 primeiros termos da solução com condição inicial , .
- Determine a expressão geral da solução encontrada no item c).
Passo 1
Resolvendo a letra a)
A ideia aqui é pegar e substituir na equação diferencial! Então, precisaremos calcular suas derivadas de primeira e segunda ordem. Veja só:
E substituindo na equação:
E então desenvolvendo a multiplicação pelos termos:
Passo 2
Agora mudando as variáveis:
Na primeira série:
Na segunda e na terceira séries:
E reescrevendo:
Passo 3
Analisando agora a primeira série que é a única com termos de grau zero, verificamos que com :
Como queríamos demonstrar!
Passo 4
Resolvendo a letra b)
Pensando analogamente ao item anterior, a primeira e a terceira séries são as únicas com termos de grau um! E portanto, pra :
Como queríamos demonstrar!
Pensando analogamente ao item anterior, todas as séries tem termos de grau dois! E portanto, pra :
Como queríamos demonstrar!
Passo 5
Resolvendo a letra c)
Pela expressão que temos em termos das séries:
Verificamos, manipulando a equação, que pra , temos:
E isolando :
Pelo enunciado: e . Já verificamos que .
E os outros termos serão encontrado pela relação acima encontrada:
Passo 6
Como visto no item anterior, os termos não-nulos da expansão são aquele que têm índice múltiplo de 3. Ou seja, índices da forma . Então, transformando de pra , temos:
Logo, o termo geral será:
E com e :
Resposta
Letra c)
Letra d)