UFES, São Mateus, Equações Diferenciais, Listas Professora Raniella - EDO 2022.2, Questão 2a
Utilizando o método de séries de potências, resolva a EDO a seguir
Passo 1
Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de EDO. Dessa vez temos que resolver EDO´S de segunda ordem usando séries de potências. E aí? Lembram como resolvemos esse tipo de problema com esse método?
Vamos fazer uma revisão!!!!
Assumimos que a solução da EDO é da seguinte forma
Calculamos
Que pela linearidade da derivada é:
E o
Que pela linearidade da derivada é:
Depois disso substituímos na equação original para podermos encontrar os valores dos coeficientes ´s.
Bora Resolver a EDO
Passo 2
Vamos resolver nossa EDO
Assumimos que a solução é da forma
Então, pela nossa revisão,
Substituindo na equação original
vamos fazer no primeiro somatório e no segundo, então
Dessa forma, podemos juntar os somatórios
mas o enunciado diz que essa soma é zero. Logo os coeficientes que acompanham as potências de precisam ser zero. Com isso temos:
e
Passo 3
Vamos desenvolver
isolando
fazendo , chegamos a
Mas vimos que
Logo
De forma análoga, podemos observar que . Ou seja
Passo 4
Agora, vamos verificar para . Então
E para ?
Logo, temos que
Por fim, vamos verificar os termos da forma para Então, usando a nossa relação
temos:
Logo
Logo, a solução geral é:
com
Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de EDO, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!