UFSCAR – Série e Equações Diferenciais – 2021/1 – Simulado 14
8) Qual das séries abaixo representa uma solução para
Com as condições iniciais: e ?
Passo 1
Falaaaa... tudo bem??
Nessa questão vamos resolver essa equação diferencial por série de potências.
A primeira coisa que fazemos é supor uma solução beeem geral, na forma de série de potência centralidade em (as condições iniciais são dadas nesse ponto).
Depois disso vamos substituir na equação diferencial e tals...
Daí vamos fazendo as manipulações necessárias até conseguir identificar bonitinho qual é a série que representa a solução.
Vamo botar a mão na massa...
Passo 2
Bom... o nós já supomos que seja:
Mas tem a segunda derivada na equação diferencial. Derivando :
Que fica:
E derivando, de novo, pra achar a segunda derivada:
Repara que sempre que derivamos o termo que é constante some (já que derivada de constante é zero), daí o número de termos no somatório diminui 1. Por isso o embaixo do somatório vai aumentando.
Passo 3
Substituindo as séries na equação diferencial:
Passando o pra dentro do somatório, ficamos com:
Ta mais ou menos bonitinho, né? Mas precisamos deixar os somatórios começando e terminando no mesmo lugar.
Repara que pra segunda derivada temos que adicionar mais 2 termos, certo? Já que derivamos duas vezes. Então em todo lugar que tiver a gente substitui por
Agora conseguimos colocar tudo num somatório só:
Concorda que podemos escrever 0 como somatório de vários zeros?? Então:
Se duas séries são iguais, então os seus termos também são iguais:
Daí tiramos a relação de recorrência:
Passo 4
Usando as condições de contorno conseguimos mais algumas informações que pode ajudar.
Para , temos:
Para , temos:
Passo 5
Usando a relação de recorrência, vamos testar alguns valores pra tentar achar um padrão...
- para :
- para
- para :
- para
- para
- para
Ohhh... dá pra notar um padrãozinho, né?
Quando é par,
Mas quando é ímpar é diferente de zero.
Passo 6
Lembra que quando queremos representar somente os números pares usamos e quando queremos só representar os números ímpares usamos .
Repara também que o sinal de menos vai alternando entre um termo ��mpar e o próximo ímpar. Daí vai aparecer um .
E na parte de baixo da fração temos um bendito fatorial.
Pegando somente os termos ímpares:
Substituindo o por só pra ficar bonitinho:
Botando lá no somatório: