Considere a equação diferencial

Determine a relação de recorrência da solução por série de potências de (série centrada em ) da equação dada.

Vamos, então, definir:

Fazendo essas substituições na EDO, temos:

Agora vamos parar aqui um pouco para pensar. O próximo passo seria multiplicar a 1ª série por e a segunda por . Repara que na segunda série, como temos uma potência de , teremos:

Isso simplifica muito as coisas! Mas na 1ª série, temos multiplicando e não conseguimos simplificar nada, não é? Não dá para trabalhar com isso! O que precisamos fazer então é escrever esse termo em termos de , como assim? Olha só?

Completamos o quadrado, certo? Já temos um , agora temos que fazer aparecer outro:

O que fizemos foi criar termos e ir tirando o que colocamos a mais, para não alterar a expressão. Ok? Vamos agora substituir isso na EDO, você vai ver que as coisas ficarão bem melhores:

Vamos simplificar só esse primeiro termo que chamamos de , para não confundir muito as coisas!

Ok? Temos então

Precisamos, agora, igualar as potências de por . Temos:

Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice , no 1º caso, e no 2º 2.

Temos, então:

Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.

Como o somatório deve passar a começar em , colocamos para fora o termo correspondente a . Vamos fazer o mesmo as outras séries:

Temos, então:

Vamos, então, juntar os somatórios colocando em evidência e agrupar os termos “soltos”.

Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.

Os coeficientes de cada termo “solto”, fora do somatório também devem ser zero.

Portanto, a relação que encontramos para vale a partir de , ou seja, a partir de . Encontramos nossa relação de recorrência.