Solução de EDO em série – ponto ordinário
Considere a equação diferencial de Tchebycheff
Sabendo que é a solução geral da equação por série em torno do ponto .
- Determine uma cota inferior para o raio de convergência das soluções em série e linearmente independentes da equação em torno de .
- Determine a relação de recorrência. Justifique.
- Determine a solução geral da equação de Tchebycheff. Justifique.
Passo 1
Letra a)
Como o problema pede, vamos solucionar o problema definindo como uma série de potências em torno de . Para essa questão, temos , como , o ponto é ordinário, então podemos continuar.
Para encontrar a cota inferior do raio de convergência, temos que saber as raízes de . Nesse caso, quando . A cota inferior é então a menor distância entre as raízes e , nesse caso, .
Passo 2
Letra b)
Vamos, então, definir:
Fazendo essas substituições na EDO, temos:
Passo 3
Precisamos, agora, igualar as potências de por . Temos:
Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice (nesse caso, ).
Temos, então:
Passo 4
Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.
Como o somatório deve passar a começar em , colocamos para fora os termos correspondentes a e . Vamos fazer o mesmo as outras séries:
Temos, então:
Passo 5
Vamos, então, juntar os somatórios colocando em evidência e agrupar os termos “soltos”.
Passo 6
Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.
Os coeficientes de cada termo “solto”, fora do somatório também devem ser zero.
Encontramos nossa relação de recorrência.
Passo 7
Letra c)
Certo, agora vamos encontrar a solução dessa EDO. Precisamos achar uma fórmula geral para os ’s, não é? Como a relação de recorrência vai de 2 em 2 (relaciona com ), já sabemos que vamos encontrar padrões diferentes para ’s pares e ímpares.
Para os ’s pares
Temos no denominador sempre um fatorial do mesmo índice do , portanto, . No numerador, temos um produto de termos que são diferenças entre o quadrado de um número e . Desde até .
Portanto, todos os ’s de índice par, temos:
Escrevemos assim para você visualizar melhor, mas não podemos esquecer que estamos falando dos ’s pares! Nesse caso, temos , ou seja:
Isso vale para , pois para , temos , que é o que define os outros ’s.
Para os ’s ímpares
Temos aqui algo muito parecido com o que vimos para os índices pares. Temos um fatorial do denominador e um numerador com vários produtos, que vão desde até ). Ou seja:
Mas não podemos nos esquecer que estamos falando dos ’s ímpares, ou seja, com . Isso nos dá entãp:
Isso vale para , pois para , temos , que é o que define os outros ’s.
Passo 8
Agora vamos juntar essas informações que achamos, temos:
Certo? Dividimos o somatório em uma parte com os índices ímpares e outra com os pares. Como as expressões que encontramos só valem para , vamos tirar o do somatório:
Substituindo as expressões que encontramos, temos:
Como o problema pediu , vemos que o 1º parênteses é e o 2º .
Resposta
- 1