Considere a EDO linear de segunda ordem
- Determine o raio mínimo das series de potências das soluções da EDO em torno do ponto ordinário .
- Determine a solução geral da equação, em torno do ponto , usando séries de potências. Encontre a relação de recorrência e duas soluções linearmente independentes em séries de potencias, indicando o termo geral de cada solução.
Passo 1
a)
O primeiro passo é verificar que que é um ponto ordinário. Já que e , então ele é de fato ordinário. Agora vamos reescrever a edo no seguinte formato.
Temos agora que analisar o raio de convergência da expansão em série de potencias de e para determinar o raio mínimo.
Passo 2
Como o raio será infinito.
A função diverge quando então o raio de convergência dessa função em torno de será 2 uma vez que no intervalo s nossa série converge em todos os pontos.
Logo o raio mínimo será 2 já que
Passo 3
b)
Vamos buscar uma solução em série para esta equação. Assim, admitimos uma função analítica com as seguintes características:
Passo 4
Vamos, agora, introduzir as fórmulas na equação:
Assim, vamos colocar todos os e coeficientes para dentro dos somatórios.
Passo 5
E vamos deixar sempre dentro. Para isso, necessitamos fazer um deslocamento no índice do primeiro somatório.
Logo:
Passo 6
Agora, vamos deixar todos os somatórios a partir do maior valor inicial de (), tirando os termos que sobram do somatório:
Assim, fica:
E podemos juntar os somatórios:
Passo 7
Como a equação é igual a um polinômio nulo, podemos dizer.
De onde obtemos a relação de recorrência:
Vamos analisar os casos de para saber se essa forma é válida para eles.
Logo a equação é válida para
Passo 8
Vamos analisar os números pares da nossa relação e recorrência.
A partir dai todos os termos pares serão zero já que será multiplicado por e será zero e assim por diante.
Logo dos termos pares só teremos
Isso formará a seguinte equação formada pelos termos pares.
Analisando os termos impares
Já da pra notar um padrão que será
Assim teremos a seguinte equação
Logo encontramos nossas duas soluções independentes da EDO.
Resposta
a)
b)