UFJF, Sem Campus, Equações Diferenciais I, Avaliações Moodle - Prova 2022.2, Questão 1
Note que a equação diferencial possui um ponto ordinário em . Neste caso, determine a relação de recorrência para a solução em série da equação em torno deste ponto.
Marque a alternativa correta.
Escolha uma opção:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma EDO de segunda ordem com coeficientes variáveis, isso quer dizer que nossa solução será por séries de potência. Como nossa EDO tem ponto ordinário , ela é centralizada em zero e podemos supor logo de cara que nossa solução tem a forma:
Encontrando os nós definimos . Dessa forma, para encontrar a relação de recorrência que a questão pede, vamos derivar duas vezes, substituir na EDO e verificar o valor dos coeficientes.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando :
Derivando mais uma vez, temos:
Substituindo na EDO , vamos ter:
Aplicando a distributiva no somatório do meio:
Podemos pegar esse do lado de fora e passa-lo pra dentro, lembrando que . Logo,
Passo 3
Precisamos juntar esses somatórios pra simplificar as coisas. Vamos começar deixando-os com a mesma potência de , nesse caso, .
Para a primeira série:
Na prática, vamos somar na frente de todo no somatório:
Agora no terceiro somatório, vamos subtrair na frente de todo :
E temos todo mundo com :
Passo 4
Agora vamos colocar essas quatro séries dentro de uma só. Para isso, vamos fazer os somatórios começarem em , que é o maior valor nesse caso. O que nós vamos fazer é pegar as séries que estão diferentes e tirar os valores para e .
Fica assim:
Agora podemos juntar os somatórios colocando em evidência:
Veja que temos um somatório de termos positivos que é igual a zero, logo, para essa igualdade ser satisfeita temos:
Essa última equação é nossa relação de recorrência dos coeficientes. Colocando em função de temos:
Ou
Que é a nossa alternativa (C).
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
c)