Supondo que , calcule os quatro primeiros termos da solução na origem da equação:

Verificado que é um ponto ordinário, temos que a solução em série da equação ao redor desse ponto é:

Para encontrar a relação de recorrência, precisamos também calcular tanto a primeira quanto a segunda derivada:

Vale lembrar, nesse caso, que:

Temos, então:

Substituindo as expressões acima na EDO fornecida no enunciado e reajustando os termos, temos:

Para chegar a uma única série, vamos trabalhar sobre essas séries realizando as seguintes medidas:

1. Colocar as séries sobre a mesma potência .
2. Colocá-las começando do mesmo ponto!

Vamos, agora, colocá-las sob a mesma potência!

Para a expressão do , iremos substituir , obtendo:

Já para a expressão do é substituído . Obtemos:

Assim, chegamos a seguinte expressão:

Antes de colocar as séries começando do mesmo ponto, vamos analisar os termos constantes (com ) em e o em :

Como a segunda expressão não tem um termo constante, obtem-se que .

Analisado os termos constantes, o próximo passo será alterar as séries para começar em um mesmo ponto:

Como :

Substituindo na equação encontrada, tem-se:

Com todas as séries começando sob o mesmo ponto, parte-se para a análise de todas as séries:

1. Dos termos de x de primeira ordem ():

Para o termo à esquerda do sinal de igual, temos que ter . Para o primeiro termo à direita do sinal, o mesmo valor de n, enquanto, para o segundo termo, não há possibilidades de ter . Assim, temos:

2. Dos termos de x de segunda ordem ():

Das séries da esquerda para a direita serão necessários os valores de , e , respectivamente. Logo:

3. Dos termos de x de terceira ordem ():

De forma análoga ao raciocínio desenvolvido anteriormente, temos:

Logo,