Solução de EDO em série – Ponto Ordinário
Considere a seguinte equação diferencial ordinária:
- Seja
- Resolva o problema de valor inicial associado à equação com condições iniciais e
Uma solução da EDO definida numa vizinhança do ponto . Encontre a relação de recorrência satisfeita pelos coeficientes de
Passo 1
a)
Como o problema pede, vamos solucionar o problema definindo como uma série centrada em . Antes de tudo, precisamos verificar se o ponto é ordinário. Temos, nesse caso, e Logo, é ordinário, podemos usar o método aqui então.
Passo 2
Vamos, então, definir:
Fazendo essas substituições na EDO, temos:
Colocando os valores de para dentro do somatório
Passo 3
Precisamos, agora, igualar as potências de por . Temos duas potências que não estão
E
Temos:
E
Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice (nesses casos, e ).
Temos, então:
Passo 4
Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.
Como o somatório deve passar a começar em , colocamos para fora os termos correspondentes a e . Vamos fazer o mesmo as outras séries:
Temos, então:
Passo 5
Vamos, então, juntar os somatórios colocando em evidência e agrupar os termos “soltos”.
Passo 6
Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.
Repara que
Então
Como podemos simplificar aquele
Assim vamos ter
Encontramos nossa relação de recorrência.
Passo 7
b)
Vamos usar as condições iniciais que ele deu para começar a achar esses coeficientes, ele deu que
Assim
A outra condição foi
Assim temos
Vamos agora, calcular alguns ’s.
Daí em diante, todos os termos serão iguais a zero, pois a sua expressão depende dos dois anteriores que é zero. Portanto, a série é finita. E vamos ter
Passo 8
Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o .
Substituindo as expressões que encontramos para os ’s, termos
Resposta
a)
b)