UFJF, Sem Campus, Equações Diferenciais I, AV3 - 2022.1 - Prof° Luiz Fernando, Questão 5.
Questão 5 - Use séries para resolver o PVI abaixo. Descreva os primeiros coeficientes da série e a lei de recorrência que relaciona os coeficientes da série.
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nosso objetivo aqui é usar a solução por séries para obter os primeiros termos do coeficiente e também obter a relação de recorrência.
Tem ideia de como fazer isso? 🤔
Na solução por séries, fazemos com que a solução de uma EDO genérica dada por seja estruturada por
Assim, calculando a primeira e a segunda derivada de e substituindo na EDO, podemos fazer algumas relações que vão nos ajudar.
Entendeu? Bora começar! 😁
Passo 2
Calculando a primeira derivada de , temos, pelo método de derivação polinomial
Já a segunda derivada, pelo mesmo método é igual a
Substituindo , e na EDO , temos
Passando para dentro do somatório, fazemos a soma dos expoentes
No primeiro termo, fazemos uma translação de para .
Perceba que o primeiro e o terceiro termo começa em , mas o segundo termo começa em . Por isso, vamos escrever o primeiro somatório do primeiro e do terceiro termo para deixar todos em .
Sacou? Bora lá!
Passo 3
Para o primeiro termo, temos
Para o segundo termo, temos
Substituindo os resultados na equação, vamos obter
Com isso, podemos juntar os termos dos somatórios em um único somatório
Para a igualdade ser satisfeita, obrigatoriamente temos
Desse sistema, tiramos que é dado por
E essa é a nossa relação de recorrência!
Tranquilo até aqui? 🤔
Passo 4
Obtendo os primeiros termos do coeficiente da solução, temos que obter de até .
Da primeira equação do sistema, temos
Fazendo de a em
Para :
Para :
Mas se , então
Para :
Mas se , então
Para :
Porém, , então
Agora
Se , então
E esses são os primeiros termos da solução! Mas pera aí que ainda podemos melhora-los.
Tranquilo até aqui?
Passo 5
Esse problema é PVI e foi dito que e e também temos que
Ou seja...
Logo, aplicando nos coeficientes que encontramos...
Agora sim temos os primeiros coeficientes da solução!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
