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Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

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Enunciado

Tarefa 1, Grau G2 - MAT 1154 Cálculo IV – PUCRIO – Questão 1

Encontre uma solução na forma de série de Maclaurin para o PVI

y ' = 1 - y 2 y 0 = 0

Seja ∑ n = 0 ∞ c n x n n a solução encontrada acima. Encontre uma função g ( x ) tal que..

g x 2 = 1 - ∑ n = 0 ∞ c n x n

Passo 1

Vamos começar!

Bom! Comecemos definindo a seguinte y ( x ) como uma série...

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Derivando...

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

Passo 2

Fazendo essas substituições na EDO:

y ' = 1 - y 2

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n 2

Rearranjando os somatórios, temos que...

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = 1 - a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n x n 2

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = 1 - a 0 2 - 2 a 0 ∑ n = 1 ∞ a n x n - ∑ n = 1 ∞ a n x n 2

Elevando os dois lados ao quadrados...

∑ n = 1 ∞ a n x n 2 = 1 - a 0 2 - 2 a 0 ∑ n = 1 ∞ a n x n - ∑ n = 1 ∞ a n x n 2

2 ∑ n = 1 ∞ a n x n 2 + 2 a 0 ∑ n = 1 ∞ a n x n + a 0 2 - 1 = 0

Temos uma equação do 2 º grau no formato y = a x 2 + b x + c . E as raízes são...

∑ n = 1 ∞ a n x n = - 2 a 0 ± 4 a 0 2 - 8 ( a 0 2 - 1 ) 4

E como y x é dado por...

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n x n

Então;

∑ n = 1 ∞ a n x n = - 2 a 0 ± 4 a 0 2 - 8 ( a 0 2 - 1 ) 4

y ( x ) - a 0 = - 2 a 0 ± 4 a 0 2 - 8 ( a 0 2 - 1 ) 4

y x = 2 a 0 ± 4 a 0 2 - 8 ( a 0 2 - 1 ) 4

Passo 3

Vamos ver agora, como fica essa série, resolvendo pelo método mais simples...

Vamos pegar a equação diferencial...

y ' = 1 - y 2

y ' 1 - y 2 = 1

d y 1 - y 2 = d x

Integrando...

∫ d y 1 - y 2 = ∫ d x

arcsen ⁡ y = x + c 1

y = sen ⁡ ( x + c 1 )

Como y 0 = 0

y = sen ⁡ ( x + c 1 )

0 = sen ⁡ ( 0 + c 1 )

c 1 = 0   o u   c 1 = 2 π

Por conveniência, ficamos com c 1 = 0 !

y = sen ⁡ x

Passo 4

Agora pensa no seguinte! A gente tem a seguinte função...

g x 2 = 1 - ∑ n = 0 ∞ c n x n

Onde...

∑ n = 0 ∞ c n x n = sen ⁡ x

Logo...

g x 2 = 1 - ∑ n = 0 ∞ c n x n

g x 2 = 1 - sen ⁡ ( x )

g x 2 = 1 - sen ⁡ ( x )

g x = 1 - sen ⁡ ( x )

Resposta

y x = 2 a 0 ± 4 a 0 2 - 8 ( a 0 2 - 1 ) 4

g x = 1 - sen ⁡ ( x )

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