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Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

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Enunciado

1- Considere a equação linear homogênea de segunda ordem

x - 1 y ' ' + y ' = 0

a) Verifique que x = 0 é um ponto ordinário ou um ponto singular regular da equação.

b) Encontre a solução geral da equação dada utilizando série de potências ou série de Frobenius em torno de x = 0 .

Passo 1

Letra A:

Pois bem, vamos começar aqui verificando o que x = 0 é como nos pede o problema. Antes, porém, vamos só verificar de acordo com a teoria que é essa EDO:

x - 1 y ' ' + y ' = 0    

Ora, lá na teoria, uma EDO de segunda Ordem no geral pode ser escrita dessa forma aqui:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0   →

Onde no nosso caso...

P x = x - 1

Q x = 1

R x = 0

Um ponto x 0 é um ponto ordinário se P x 0 ≠ 0 ou singular caso contrário ! Então, substituindo x 0 por 0 que é o ponto em questão...

P 0 = 0 - 1 = - 1   →

Logo:

P 0 ≠ 0

Então se trata de um ponto ordinário !

Passo 2

A cara da solução por séries de potência é essa daqui, oh:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x - x 0 n   →

No nosso caso, x 0 = 0 ...

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

O que falta saber nessa solução? Isso mesmo! Quem é esse termo a n , certo? Para responder essa pergunta, a gente pode derivar e depois substituir na EDO, veja:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Primeira derivada:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

Segunda Derivada:

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 2

Substituindo...

x - 1 y ' ' + y ' = 0       →

x - 1 ∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = 0       →

Podemos simplificar um pouquinho multiplicando os termos do parêntesis por essa primeira soma...

x ∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 2 - ∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = 0       →

E agora passando esse x para dentro do somatório, ficamos com:

∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 1 - ∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = 0       →

OBS: Lembre-se que x n - 2 ⋅ x = x n - 2 + 1 = x n - 1 ! Temos agora que trabalhar em cima dessa equação para colocar tudo dentro de um único somatório. Bora?

Passo 3

Primeiro, perceba que o único termo com x n - 2 é o segundo somatório:

∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 2     →

Para deixa-lo com o mesmo termo dos outros ( x n - 1 ), que tal fazer essa substituição aqui:

n - 2 = m - 1     →               n = m + 1

Logo:

∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 2 = ∑ m + 1 = 2 ∞ m + 1 - 1 m + 1 a m + 1 x m + 1 - 2 =

∑ m = 1 ∞ m m + 1 a m + 1 x m - 1     →

Chamando o que é m de n novamente, já que nome não altera nada:

∑ n = 1 ∞ n + 1 n a n + 1 x n - 1  

Então finalmente podemos substituir lá na igualdade:

∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 1 - ∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = 0       →

∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 1 - ∑ n = 1 ∞ n + 1 n a n + 1 x n - 1 + ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = 0  

Saca?

Passo 4

Bem, percebe que cada somatório começa de um ponto? Agora temos que coloca-los começando do mesmo! Para isso, peguemos essas duas somas que começam de 1 , e as coloquemos começando de 2 , como na primeira:

∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 1 - ∑ n = 1 ∞ n + 1 n a n + 1 x n - 1 + ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = 0  

Vamos começar tirando o termo n = 1 dessa primeira aí:

∑ n = 1 ∞ n + 1 n a n + 1 x n - 1 = 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ a 1 + 1 x 1 - 1 + ∑ n = 2 ∞ n + 1 n a n + 1 x n - 1   →

∑ n = 1 ∞ n + 1 n a n + 1 x n - 1 = 2 a 2 + ∑ n = 2 ∞ n + 1 n a n + 1 x n - 1

Agora vamos fazer o mesmo para a segunda:

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = 1 a 1 x 1 - 1 + ∑ n = 2 ∞ n a n x n - 1   →

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = a 1 + ∑ n = 2 ∞ n a n x n - 1

Prontinho! Agora substituindo:

∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 1 - 2 a 2 + ∑ n = 2 ∞ n + 1 n a n + 1 x n - 1 + a 1 + ∑ n = 2 ∞ n a n x n - 1 = 0     →

- 2 a 2 + a 1 + ∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 1 - ∑ n = 2 ∞ n + 1 n a n + 1 x n - 1 + ∑ n = 2 ∞ n a n x n - 1 = 0  

Passo 5

Agora que temos todos os somatórios começando do mesmo ponto e com o mesmo termo x n - 1 , podemos colocar todo mundo dentro da mesma soma:

- 2 a 2 + a 1 + ∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 1 - n + 1 n a n + 1 x n - 1 + n a n x n - 1 = 0     →

E ainda mais: podemos colocar em evidência o x n - 1 ...

- 2 a 2 + a 1 + ∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n - n + 1 n a n + 1 + n a n x n - 1 = 0     →

Bem, para isso ser verdadeiro, como x n - 1 , não poder ser 0 , os termos dos colchetes devem ser nulos:

- 2 a 2 + a 1 = 0

n - 1 n a n - n + 1 n a n + 1 + n a n = 0

Dessa última equação, podemos tirar a relação de recorrência simplesmente simplificando...

n - 1 n a n - n + 1 n a n + 1 + n a n = 0     →

n - 1 + 1 n a n - n + 1 n a n + 1 = 0   →

n 2 a n - n + 1 n a n + 1 = 0   →

- n + 1 n a n + 1 = - n 2 a n   →

E isolando o termo a n + 1 :

a n + 1 = - n 2 a n - n + 1 n   →

a n + 1 = n a n n + 1  

Bora procurar a relação geral a n através dessa relação de recorrência?

Passo 6

Primeiro, sabemos que:

- 2 a 2 + a 1 = 0     →         a 2 = a 1 2

Agora, através da relação de recorrência, podemos substituir valores para n até acharmos um padrão! Vamos começar com n = 2 , para ganhar o a 2 + 1 = a 3 , já que o a 2 já temos:

n = 2         →               a n + 1 = n a n n + 1             →                 a 3 = 2 a 2 2 + 1 = 2 3 ⋅ a 1 2 = a 1 3

Agora, n = 3 :

n = 3         →               a n + 1 = n a n n + 1             →                 a 4 = 3 a 3 3 + 1 = 3 4 ⋅ a 1 3 = a 1 4

Percebe o que está havendo? Qualquer a n com n ≥ 1 que queremos é só pegar o a 1 e dividir por n ...

a n = a 1 n ,         n ≥ 1

Como a solução da EDO é...

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n   →

Tirando o termo de n = 0 que não conhecemos...

y x = a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n x n     →

Agora esse a n é...

y x = a 0 + ∑ n = 1 ∞ a 1 n x n       o u

y x = a 0 + a 1 ∑ n = 1 ∞ 1 n x n

Já que a 1 é uma constante !

Resposta

  1. Ponto Ordinário

y x = a 0 + a 1 ∑ n = 1 ∞ 1 n x n

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