UFES, São Mateus, Equações Diferenciais, Listas Professora Raniella - EDO 2022.2, Questão 4
Considere que busca encontrar a solução de uma equação no formato:
Com representando uma constante. Encontre uma solução geral real para a equação diferencial parcial. Essa equação é conhecida como equação de onda.
Passo 1
Fala aí gente, tudo certinho?
Nessa questão recebemos a seguinte equação diferencial parcial:
E, precisamos encontrar uma solução geral real para essa EDP. Basicamente, vamos encontrar a solução formal. Para encontrar a solução específica de um futuro problema, o enunciado também teria que nos informar as condições de fronteira e as condições iniciais do problema.
A estratégia pra resolver a EDP dada consiste em usar o método de separação das variáveis.
Ou seja, vamos fazer:
A partir disso, substituímos na EDP dada e desenvolvemos.
Vem comigo que vai ficar bem clarinho 😊
Passo 2
Bom, vamos usar a separação de variáveis. Ou seja:
Logo:
E:
Daí, podemos reescrever nossa EDP como:
A única forma dessas razões serem iguais para qualquer e qualquer , é se elas assumirem um valor constante, que chamaremos de .
Daí:
A partir disso, extraímos daí duas EDO’s:
Perfeito!
Passo 3
Vamos começar resolvendo a primeira EDO:
Temos a seguinte equação característica:
Daí precisamos analisar os possíveis valores de . Para fazer isso precisamos considerar que, por tratar-se da equação de onda, temos que nas extremidades e ), a corda está fixada.
Assim:
Beleza, embora o enunciado não tenha dado essa informação, ela é fundamental pra encontrarmos uma solução geral real.
- Se , então:
Testando as condições iniciais:
Logo:
Ou seja, nos deu a solução trivial, que não estamos interessados...
- Se , então:
Colocando as condições iniciais:
E:
Ou seja, também tempos apenas a solução trivial...
- Se , então:
Pela condição inicial:
Logo:
Como não queremos a solução trivial, devemos ter:
Daí, desconsiderando a constante , temos que as autofunções são:
Perfeito!
Passo 4
Agora podemos voltar à nossa outra equação diferencial ordinária:
Caímos na seguinte equação característica:
Lembrando que como , temos:
Daí, a solução de na equação característica:
Portanto, usando que:
Vem:
Essa é a solução geral da EDO. Daí, voltando para a nossa função principal, e usando as soluções gerais encontradas, vem que:
Essa é uma das soluções, mas como qualquer solução pode ser descrita pela combinação linear das possíveis soluções, temos que:
(onde é o comprimento da onda/corda).
Prontinho galera!! Encontramos a solução geral real da EDP dada no enunciado!
E aí, curtiram a solução? Responde Aí!