5. Determine todas as soluções da equação dada ao redor do ponto nos casos
Passo 1
Bem, é uma EDO com coeficientes não constantes, então vamos aplicar séries para resolver, vemos que , que é o ponto em que se quer analisar a resposta, é um ponto ordinário. Aí a gente viu na teoria que para ponto ordinário podemos chutar a seguinte solução:
Derivando:
Substituindo isso na EDO:
Passo 2
Agora vamos com calma, primeiro passe o que está no segundo somatório para dentro:
A primeira coisa a fazer sempre é deixar tudo com o mesmo expoente de , vemos que o primeiro somatório está com a cara de , o que devemos fazer é substituir por , mas substituía em tudo hein!
Sacou?! Vamos só ajeitar as contas:
Então vamos voltar para o somatório, substituindo agora esse somatório que obtivemos agora:
Eita que beleza! Mas ferrou, agora tem um cara começando em e o resto começando em ! Nesses casos, você sempre abre os somatórios que começam antes até o valor do somatório que começa com o maior valor. No caso, o somatório que começa com o maior valor é o do meio, porque ele começa em e o resto em , então vamos abrir os outros para começarem em também!
Substituindo isso:
Opa! Agora que tudo está com o mesmo expoente e começando no mesmo valor, podemos juntar!
Passo 3
Então ficou com essa cara aqui:
Pelo princípio da identidade, isso só é igual a se:
Da primeira equação temos que:
Da segunda, nós temos que
Arrumando mais um pouco:
Agora caímos na famosa relação de recorrência, né? Temos que achar uma forma geral pra ela, a gente só acha testando! Simbora:
Eita, negócio não é fácil, mas vamos com calma. Percebeu que todo com ficou referido a E Todo com ficou , pois o primeiro já era zero, e como os outros dependiam deste, ficaram também. Repara que aparece um “quase” fatorial de no denominador, com exceção do . Por isso, vamos multiplicar em cima e em baixo por dois para completar o fatorial.
Assim, com a simplificação, temos para par:
Lá em cima, vimos que
Repara que essa fórmula não está incluindo o , mas ela também serve para essa relação do com o . Assim, podemos começar a nossa relação em
Além disso, não podemos afirmar nada sobre , então vamos deixá-lo quietinho.
A resposta fica: