Buscaremos uma solução em série no formato

para a equação diferencial

1. Encontre a solução geral da EDO acima.
2. Encontre a solução do PVI com e . Encontre a soma da série obtida.

Ok, vamos começar com a letra (a). Observando a solução pedida, vemos que a série está centrada em . Precisamos verificar se esse ponto é um ponto ordinário. Para isso, temos que ter:

Sendo a função que multiplica a segunda derivada . De fato, temos que:

Logo, este é um ponto ordinário e podemos resolver normalmente. Como o problema sugeriu, supomos solução na forma:

E vamos derivar para substituir na EDO:

Lembre-se que o índice do somatório avança com a ordem da derivada! Sabendo disso, vamos substituir na EDO:

Agora, distribuímos e jogando o para dentro:

E então, vamos deixar tudo com o mesmo grau em , no caso, . Para isso, mudamos convenientemente o índice para cada somatório, ficando:

Ok, assim teremos na equação:

Para juntarmos os somatórios, precisamos colocar tudo começando num mesmo , no caso, o maior . Assim, vamos abrir alguns somatórios para ajustar o início:

Agora substituímos isso tudo:

E podemos juntar os somatórios e deixar os termos de mesmo grau em evidência:

OK. Já avançamos bastante. Vamos agora tentar achar a relação de recorrência, para isso, distribuímos o que está dentro do somatório e colocamos os termos em evidência:

Agora, como queremos , igualamos isso a zero:

Além disso, , pois . Logo, podemos dividir tudo por e encontramos:

Para os termos fora do somatório:

Substituindo o que encontramos:

Pela relação de recorrência de dentro do somatório:

Portanto, teremos:

Sendo constantes a determinar. Para representá-las, dividimos nosso somatório da solução em dois somatórios, um com termos pares e outro com ímpares:

Redefinimos ali em cima para ficar no mesmo índice do enunciado. OK, esta será nossa solução geral!