Unicamp, Cálculo 3, 2019.2, P2, Questão 2.
Considere a equação diferencial
Como é um ponto ordinário para a equação, encontre a solução em séries de potências dado que e . (Obs. Determine a fórmula para o coeficiente geral da solução da equação.)
Passo 1
Então pessoal, antes de mais nada, vamos dar uma olhada na forma geral da nossa solução:
E vamos calcular as derivadas desse . Derivando pela primeira vez:
E derivando mais uma vez:
Beleza, agora vamos substituir isso na e.d.o.:
Ok, agora vamos juntar todas as potências de base . Mas só pra não ficar confuso, vamos mostrar como fica cada termo:
E o último termo fica do jeito que está mesmo. No final das contas, nossa equação é:
Ok, agora dá pra agrupar todos esses termos que estão multiplicando :
Jogando aquela segunda série para o outro lado:
E colocando em evidência do lado esquerdo:
Simplificando um pouco:
Ok, já simplificamos bastante o problema:
Passo 2
Agora vamos mexer um pouco na série da direita:
A ideia é escrever de forma que ela dependa de . Vamos ver o que acontece com os dois primeiros termos da série:
Ou seja, os dois primeiros termos se anulam! Entao vamos escrever a série só a partir do índice :
Outra forma de escrever isso é trocando :
Beleza, ficamos com na série de potências, o que vai facilitar bastante a nossa vida.
Agora sim, colocando isso de volta na equação, a gente fica com:
Passo 3
Então tá, até aqui a gente só estava arrumando a equação, agora vamos começar a resolver. A ideia aqui é a seguinte: nós vamos igualar os termos de potências iguais.
Como as duas séries já estão multiplicando desde , podemos igualar os dois coeficientes:
Isolando :
E dá pra reescrever esse termo do numerador:
Você pode fazer isso só usando o método de “soma e produto”:
Ou então calculando as raízes do polinômio usando Bháskara. De qualquer forma, nossa fórmula de recorrência é:
Passo 4
Beleza, vamos voltar lá na nossa definição para a solução :
A primeira condição inicial é . Substituindo em , só vai sobrar a constante :
E o que acontece com ? É só derivar aquela série de cima:
A segunda condição inicial é , substituindo isso na :
Passo 5
Agora, para tentar escrever um termo geral, vamos voltar na nossa fórmula de recorrência:
Começando com os termos pares, a gente já viu que , então vamos calcular , que é o caso :
E , que é o caso :
Em todos esses casos, a partir do , o que acontece é que os fatores vão se cancelando, até só ficar o numerador :
Outra forma de escrever isso é trocando :
Ou seja, para os termos de ordem par ( a série fica:
Usando a nossa fórmula :
Então a primeira parte da solução, em forma de somatório incluindo só os valores pares (do tipo ) é:
Passo 6
Agora vamos procurar a solução com os termos ímpares. A gente já viu que é:
Então pela fórmula de recorrência:
E assim por diante. Dessa vez dá pra ver que, no final de cada passo, sobra o numerador dividido por , ou seja:
Trocando :
Então a solução de termos de ordem ímpar tem essa forma aqui:
Usando a nossa fórmula:
Ou, em forma de série incluindo só valores ímpares (do tipo ):
Passo 7
Então nossa solução final vai ser simplesmente a soma dessas duas:
Pronto!