Questão 3:
Considere resolver o seguinte problema de valor inicial:
- Justifique o uso de série de potências em torno de .
- Mostre qual é o raio de convergência das séries.
- Encontre relação de recorrência entre os coeficientes das séries.
Passo 1
Letra A
Então, a série de potências em torno de é essas daqui:
Onde pode ser obtido por:
Logo, quem é o nessas condições?
Como ...
E quem é o ?
Logo, a é interessante utilizar a série de potências em torno de pois assim conhecemos os dois primeiros termos sem muito esforço mental e computacional. Se fosse entorno de qualquer outro número, para conhecer e daria certo trabalho, pois no final deveríamos calcular até mesmo a derivada e aplicar o , já que . Saca?
Passo 2
Letra B
Bem, o raio de convergência de qualquer série pode ser encontrado utilizando o limite:
Mas para isso, precisaremos de alguma relação que associe com . Para encontrar tal relação, o que vamos fazer é começar a resolver o a EDO por séries de potências! Vamos nessa?
Passo 3
A solução de uma EDO por séries de potencias de acordo com a nossa teoria é dado por:
Como essa solução tem que satisfazer a EDO:
Devemos calcular a primeira derivada dela:
E também a segunda:
Substituindo agora esses dois caras na EDO:
Esses termos do lado de fora do somatório, pode ser posto para dentro:
E lembre-se: por propriedade de potências, logo...
O que vamos fazer nos próximos passos é tentar chegar a um único somatório. Mas para isso precisamos que:
- Tenhamos o mesmo em todas elas!
- Elas estejam começando do mesmo ponto .
Passo 4
Vamos resolver aqui então o primeiro ponto dali de cima:
“Tenhamos o mesmo em todas elas!”
Para isso, a única série que precisamos mexer é naquela segunda:
Colocando na frente de todo e qualquer nessa série:
Prontinho! Ganhamos o mesmo e ficamos assim agora:
Passo 5
Vamos resolver aqui então o segundo agora:
“Elas estejam começando do mesmo ponto ”
Para isso, demos colocar as três últimas séries dali de cima começando de . Para isso, basta desmembrar a série:
Fazendo o mesmo com a terceira:
E com a última:
Agora substituindo na igualdade que queremos simplificar:
Juntando então os termos que estão do lado de fora dos somatórios:
Perceba que finalmente podemos fazer o que queríamos lá no passo 3: juntar as séries dentro de um único somatório:
Para essa igualdade a ser verdade, como estamos assumindo que ele seja diferente de , então todos os termos dos coeficientes devem ser iguais a :
Das duas primeiras equações, como conhecemos e :
Da última equação:
Isolando o ...
Passo 6
Essa última equação aí vai responder o item do nosso problema, pois ela é justamente a relação de recorrência da nossa EDO! Pois bem, mas o que queremos aqui ainda é determinar qual é o raio de convergência das nossas séries e sabemos pela teoria que o raio de convergência é dado por:
Agora quem que é o ? E o ?
Ora, o é o próximo termo da série de potências! Eu não sei se você concorda comigo, mas quando resolvermos a relação de recorrência:
Vamos obter dois ’s (um para série que vai depender do e outra que vai depender do ). Para verificar isso, basta observar que para determinar o usamos o :
E o usamos o :
Isso significa que todos os pares vão depender do e todos os ímpares do . Ou seja, vamos encontrar um para o lado par e outra para o lado ímpar. Mas ambos são tirados dessa expressão aqui:
Onde é o termo e é o próximo termo , que dependendo pode ser ou saca? Então:
Só que:
Logo:
Separando em duas frações...
O segundo limite é , pois vai ao infinito, quanto ao primeiro limite...
Logo, o raio é dado por:
Passo 7
Letra C
Resposta
- Devido aos valores iniciais estarem sendo calculado em .