Resolva a equação diferencial

Através de uma série de potências em torno do ponto . Encontre a relação de recorrência e as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução.

Vamos, então, definir:

Fazendo essas substituições na EDO , temos:

Vamos passar todos os para dentro do somatório:

Precisamos, agora, igualar as potências de , nesse caso, por . Temos:

Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice (nesse caso, ). Olha como está nossa equação até agora:

Como os somatórios não possuem o mesmo índice , precisamos mexer nisso. O índice tem que ser sempre o maior, então vamos abrir os outros somatórios até eles chegarem em .

Reescrevendo nossa equação:

Basta, então, juntar os somatórios colocando em evidência e arrumando os termos:

Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.

Isso para , que é aonde nossa série começa ali na expressão.

Além disso, também temos as seguintes igualdades:

Da primeira, tiramos:

Encontramos nossa relação de recorrência.

Vamos agora, calcular alguns ’s. Como o problema não nos dá informações iniciais sobre ou , vamos encontrar respostas em função desses valores.

Temos, portanto, sinais alternados para os índices pares e para os ímpares. Para os pares, podemos escrever o seguinte:

Para os ímpares, então, escrevemos o seguinte:

Assim por diante. Dica: nós podemos saber que a relação entre os termos é feita de em (termos pares e ímpares) por que a relação de recorrência associa termos a , portanto, com “ de distância”.

Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o .

Essas são as duas soluções, e os termos gerais de cada uma delas são: