3. Prove que a série de potências é solução da equação:
OBS: No enunciado original, a série dada contém erro de digitação.
Passo 1
Bem, é uma EDO com coeficientes não constantes, e como estamos supondo que a série é solução, precisamos calcular suas derivadas:
Derivando:
Agora, vamos substituir esses termos no lado esquerdo da EDO e verificar se eles realmente somam zero. Caso sim, então a série é solução.
Passo 2
Agora vamos com calma, primeiro passe o que está no primeiro e terceiro somatórios para dentro:
A primeira coisa a fazer sempre é deixar tudo com o mesmo expoente de , vemos que o primeiro e segundo somatórios estão com a cara de , o que devemos fazer é substituir por , mas substitua em tudo hein!
Arrumando as contas, vamos ter
Então vamos voltar para o somatório, substituindo agora esse somatório que obtivemos agora:
Eita que beleza! Mas ferrou, agora tem dois caras começando em e o outro começando em .
Nesses casos, você sempre abre os somatórios que começam antes até o valor do somatório que começa com o maior valor.
No caso, o somatório que começa com o maior valor é o último, porque ele começa em , então vamos abrir os outros para começarem em também!
Substituindo isso:
Opa! Agora que tudo está com o mesmo expoente e começando no mesmo valor, podemos juntar!
Passo 3
Finalmente, vamos ver se esses coeficientes somam :
Colocando em evidência no numerador:
AEEEEEEEE!!! Sim, é solução.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)