Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Enunciado

O primeiro passo é verificar que que é um ponto ordinário. Já que e , então ele é de fato ordinário.

Vamos buscar uma solução em série para esta equação. Assim, admitimos uma função analítica com as seguintes características:

Vamos, agora, introduzir as fórmulas na equação:

Assim, vamos colocar todos os e coeficientes para dentro dos somatórios.

E vamos deixar sempre dentro. Para isso, necessitamos fazer um deslocamento no índice do segundo somatório.

Logo:

Agora, vamos deixar todos os somatórios a partir do maior valor inicial de (), tirando os termos que sobram do somatório:

Assim, fica:

E podemos juntar os somatórios:

Mas como , teremos

De onde obtemos a relação de recorrência:

Esta fórmula é válida para , onde e são constantes do problema.

Vamos obter, agora, as duas séries que compõem as soluções linearmente independentes, uma começando em e outra em .

Assim, teremos:

Desta forma, quando varia em uma unidade, estamos pulando os termos de dois em dois, percebeu?

Show, vamos achar e agora!

Para (), temos:

Assim, escrevemos:

Note que neste caso a série tornou-se um polinômio!!

Para (), devemos ter algo parecido...

Assim, escrevemos:

;