3. Prove que a série de potências é solução da equação:
Determine os três primeiros termos de uma segunda solução linearmente independente.
Passo 1
Bem, é uma EDO com coeficientes não constantes, e como estamos supondo que a série é solução, precisamos calcular suas derivadas:
Derivando:
Agora, vamos substituir esses termos no lado esquerdo da EDO e verificar se eles realmente somam zero. Caso sim, então a série é solução.
Passo 2
Agora vamos com calma, primeiro passe o que está no primeiro somatório para dentro:
A primeira coisa a fazer sempre é deixar tudo com o mesmo expoente de , vemos que o primeiro e terceiro somatórios estão com a cara de , o que devemos fazer é substituir por , mas substitua em tudo hein!
Então vamos voltar para o somatório, substituindo agora esse somatório que obtivemos agora:
Eita que beleza! Mas ferrou, agora tem dois caras começando em e o outro começando em .
Nesses casos, você sempre abre os somatórios que começam antes até o valor do somatório que começa com o maior valor.
No caso, o somatório que começa com o maior valor é o último e o primeiro também, porque eles começam em , então vamos abrir o outro para começar em também!
Substituindo isso:
Opa! Agora que tudo está com o mesmo expoente e começando no mesmo valor, podemos juntar!
Passo 3
Finalmente, vamos ver se esses coeficientes somam :
AEEEEEEEE!!! Sim, é solução.
Passo 4
Agora, para descobrir a outra solução, vamos dar uma olhada na nossa EDO de novo:
Perceba que a gente só tem e envolvidos, então poderíamos ter como solução uma função constante e seus três primeiros termos seriam: