Sendo um ponto ordinário da EDO , sabemos que a mesma admite uma solução em série da forma
(a) (1,5pt) Encontre a relação de recorrência dos coeficientes de ;
(b) (1,5pt) Encontre os coeficientes e escreva a solução em sua forma geral;
Passo 1
Opa, vamos lá. A questão quer que a gente ache a solução da EDO usando a série
Vamos começar achando as derivadas primeira e segunda para depois podermos substituir na nossa EDO.
Agora, podemos substituir na nossa EDO da seguinte forma:
Rearrumando, teremos:
O próximo passo agora é colocar todos os somatórios com os mesmos intervalos, ou seja, começando em e os termos multiplicando .
Passo 2
No primeiro termo, podemos colocar começando em zero e somar onde aparece . Calma, que falando parece mais complicado do que é. Olha aqui:
Conseguimos fazer o somatório começar do zero e o expoente do ficar igual a .
Vamos olhar o segundo termo agora:
Nesse caso, o expoente do já está ajustado, mas então como vamos ajustar o valor inicial do somatório? Vamso pensar qual seria o termo para . Bom, o primeiro termo seria zero.
Então, nesse caso, colocar o somatório começando em zero não vai alterar o nosso somatório.
Vamos colocar esses novos somatórios na nossa expressão que era:
Como os termos dos somatórios são iguais, podemos colocar em um somatório único:
Colocanso o termo em evidência, teremos:
Para isso ocorrer, temos que:
Assim, a gente chega no que pede a letra (a) do problema, ou seja, a relação de recorrência:
Como , podemos simplificar e a nossa recorrência fica:
Letra (a) resolvida!! Vamos agora para a letra (b).
Passo 3
Na letra (b), a questão quer que a gente encontre os coeficientes e escreva a forma geral da solução. Vamos ver pela relação de recorrência como ficarão os coeficientes.
1) Para ,
2) Para ,
3) Para ,
4) Para ,
5) Para ,
6) Para ,
Sei que parece cansativo, mas é a melhor forma de entendermos o que está acontecendo oara cada valor de .
Bom, a gente vê que há uma lei de formação para par que fica em função de e uma lei de formação para ímpar que fica em função de . Podemos então separar nos números pares e nos números ímpares , onde é um número inteiro.
Para os números pares, chegaremos em:
Para valores de . Observe que essa condição é colocada para que não tenhamos zero no denominador.
Já para os números ímpares, chegaremos em:
Repare que o denominador é o fatorial ímpar. Podemos escrever ele como:
Então:
Para , sendo ímpar.
Maravilha!! A primeira parte da letra (b) está resolvida, os coeficientes foram encontrados. Vamos, agora, escrever a solução na foma geral.
Lembrando que escrevemos esses quatro primeiros termos para o nosso somatório começar em e não termos zero no denominador.
Questão resolvida!!
Resposta
(a)
(b) Coeficientes:
Forma geral: