Séries de Potências
Considere a equação diferencial
Cuja solução buscaremos na forma de séries de potências:
(a) Determine uma relação de recorrência entre os coeficientes.
(b) Determine sabendo que e
(c) Determine a solução geral da equação.
Passo 1
(a)
Bom, buscaremos soluções na forma de séries de potências:
Ela é dessa forma
Vamos agora achar as derivadas dessa função para podermos jogar na EDO
Lembrando que temos que andar com o índice nas derivadas
Então, reescreveremos a EDO de forma à achar uma relação de recorrência dos
Passo 2
Primeiro, vamos jogar aqueles valores de dentro dos somatórios:
A nossa EDO vai ficar:
Passo 3
Agora, queremos escrever o com a mesma potência em todos os somatórios.
Assim, no primeiro somatório vamos fazer , porque assim vamos passar a ter no somatório. É bom ficarmos ligados
Nos outros, vamos fazer , porque queremos manter mesmo. Assim vamos ter
A nossa EDO vai ficar então
Passo 4
Precisamos agora, deixar todas as séries começando em , porque depois disso vamos conseguir juntar tudo em um somatório só.
Para fazer isso, precisamos abrir essas séries.
A primeira vai ficar
A segunda série já começa em , então não vamos mexer nela
Vamos agora ver a terceira
A última vai ficar
Assim, essa bagunça vai ficar
Vamos juntar os somatórios
Ufa, juntamos tudo 😊
Passo 5
Agora, como o lado direito é igual a , devemos ter todos os coeficientes sendo . Ou seja
E
Então, ficamos com
e
A terceira equação vai nos dar a relação de recorrência dos ,
mas lembrando que como o somatório começa em , vamos ter a nossa recorrência
Isolando , vamos ter
Simplificando aquele , vamos ter
Que é a relação de recorrência entre os coeficientes.
Passo 6
(b) Usando as condições iniciais e , achamos que
Dai tiramos, pela relação de recorrência que
Agora por recorrência temos que
Opa, mas cada termo vai depender
Então temos que os pares a partir de são iguais a zero.
Aqui a nossa solução vai ser
Como a partir do , os coeficientes vão ser negativos, vamos ter
Trocando os valores dos coeficientes que temos, vamos achar
Passo 7
c)
Vamos agora achar a solução geral dessa EDO
Temos aquelas equações
Vamos substituir alguns valores de , e tentar escrever todos esses coeficientes em função de ou
Como , então todos os coeficientes pares depois dele serão nulos também. Só pra ter uma ideia, olha como ficaria o
Passo 8
Agora vamos dar uma olhada para os coeficientes impares
Não vou simplificar essa expressão pra vê se a gente enxerga um padrão nessa bagunça!
No numerador e no denominador parece que a gente tem dois produtórios. No numerador a gente tem pra um genérico ímpar
Para escrever de uma forma mais bonitinha, podemos escrever como um número ímpar genérico
Com , já que o nosso menor é . Assim no numerador a gente vai ter
E isso tudo é o seguinte produtório
Agora no denominador, a gente tem uma coisa parecida
Rescrevendo como um número ímpar de novo
Como é um fator comum a todo mundo d�� pra gente juntar um montão. De até têm fatores, cada um com um multiplicando, assim esse negócião fica
Reconhece esse ser aí depois de ? É isso mesmo, o nosso velho e bom amigo fatorial!
Bem mais simpático agora 😉
Beleza! Agora tá quase pronto! Mas lembra lá em cima que uns deles eram positivos e outros eram negativos? Pois é, a gente tem que incluir isso também. Mas isso é bem tranquilo, saca só:
Vamos supor que é positivo para facilitar a vida.
Os termos que eram proporcionais a eram
Esses caras correspondem à que correspondem a , ou seja, a par.
Os termos que eram proporcionais a eram
Esses caras correspondem à que correspondem a , ou seja, a ímpar.
Para termos um número negativo quando é ímpar e um número positivo quando é par basta multiplicar por .
Assim, os termos com ímpar podem ser escritos como
Lembrando que e que
Assim a nossa solução fica
Arrumando tudo
Resposta
A)
B)
C)