Considere a equação

1. Mostre que é ponto ordinário dessa equação.
2. Determine a relação de recorrência dos coeficientes da solução em série dessa equação em torno do ponto .
3. Determine os primeiros quatro termos não nulos da solução que satisfaz e .

A solução em série da equação ao redor do ponto ordinário é:

Para encontrar a relação de recorrência, precisamos também de calcular tanto a primeira quanto a segunda derivada:

E substituímos essas belezinhas na EDO

Para chegar a uma única série, a gente vai ter que trabalhar um pouquinho em cima dessas séries fazendo duas coisas:

1. Colocar as séries sobre a mesma potência .
2. E coloca-las começando do mesmo ponto!

Vamos então coloca-las sob a mesma potência! Por sorte, só precisamos alterar a primeira série.

Para fazer isso, podemos realizar uma mudança de variável:

Assim, quando , e quando , também é!

Como é apenas um nome de uma variável, podemos nomeá-lo novamente de ficando com...

Agora vamos coloca-las começando de um único . No caso, de ...

Em relação à primeira:

Em relação ao último somatório...

Logo...

Vamos juntar os somatórios colocando o em evidência e agrupar os termos soltos.

Para isso tudo ser , os termos livres tem que ser igual a :

Enquanto que os coeficientes na frente de também tem que zerar:

Para encontrar as relações de recorrência, basta fazer:

Veja que essa relação até mesmo nos indica que , basta substituir !

Aplicando as condições iniciais na nossa solução, vamos encontrar isso aqui:

e

Agora, da relação de recorrência, você já vai tirar de letra que todo termo de índice ímpar é nulo!

Já os primeiros quatro termos, não-nulos, de índices pares vão ser