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Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

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Enunciado

UFES, São Mateus, Equações Diferenciais, Listas Professora Raniella - EDO 2022.2, Questão 3

Utilizando o método de séries de potências, resolva a EDO a seguir com p ∈ R

( 1 - x 2 ) y ' '   - 2 x y ' + p ( p + 1 ) y = 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de EDO. Dessa vez temos que resolver EDO´S de segunda ordem usando séries de potências. E aí? Lembram como resolvemos esse tipo de problema com esse método?

Vamos fazer uma revisão!!!!

Assumimos que a solução da EDO é da seguinte forma

y ( x ) = ∑ i = 0 ∞ a i x i

Calculamos

y ' ( x )

Que pela linearidade da derivada é:

y ' ( x ) = ∑ i = 0 ∞ i a i x i - 1

E o

y ' ' ( x )

Que pela linearidade da derivada é:

y ' ' ( x ) = ∑ i = 0 ∞ i ( i - 1 ) a i x i - 2

Depois disso substituímos na equação original para podermos encontrar os valores dos coeficientes a i ´s.

Bora Resolver a EDO

Passo 2

Vamos resolver nossa EDO

( 1 - x 2 ) y ' '   - 2 x y ' + p ( p + 1 ) y = 0

Substituindo na expressão

( 1 - x 2 ) ∑ i = 2 ∞ i ( i - 1 ) a i x i - 2 - 2 x ∑ i = 1 ∞ i a i x i - 1 + p ( p + 1 ) ∑ i = 0 ∞ a i x i = 0

∑ i = 2 ∞ i ( i - 1 ) a i x i - 2 - ∑ i = 2 ∞ i ( i - 1 ) a i x i - 2 ∑ i = 1 ∞ i a i x i + p ( p + 1 ) ∑ i = 0 ∞ a i x i = 0

fazendo uma mudança de índice no segundo somatório.

∑ u = 0 ∞ ( u + 2 ) ( u + 1 ) a u + 2 x u - ∑ i = 2 ∞ i ( i - 1 ) a i x i - 2 ∑ i = 1 ∞ i a i x i + p ( p + 1 ) ∑ i = 0 ∞ a i x i = 0

Vamos fazer todos os somatórios começarem do índice 2

∑ u = 2 ∞ ( u + 2 ) ( u + 1 ) a u + 2 x u - ∑ i = 2 ∞ i ( i - 1 ) a i x i - 2 ∑ i = 2 ∞ i a i x i + p ( p + 1 ) ∑ i = 2 ∞ a i x i + 2 a 2 + 6 a 3 x - 2 a 1 x + p ( p + 1 ) ( a 0 + a 1 x )

juntando

= ∑ i = 2 ∞ ( ( i + 2 ) ( i + 1 ) a i + 2 - i ( i - 1 ) a i - 2 i a i + 2 a i + p ( p + 1 ) a i ) x i + 2 a 2 + 6 a 3 x - 2 a 1 x + p ( p + 1 ) ( a 0 + a 1 x ) = 0

Como é uma igualdade de polinômios, temos que:

2 a 2 + p ( p + 1 ) a 0 = 0

Logo

a 2 = - a 0 p ( p + 1 ) 2

E temos também que:

6 a 3 - 2 a 1 + p ( p + 1 ) a 1 = 0

Logo

a 3 = a 1 ( 2 - p ( p + 1 ) ) 6  

para todo i ≥ 2 . Isolando a i

( i ( i - 1 ) - 2 i + 2 ) a i + ( i - 1 ) a i - 1 = 0

⇒ a i = - ( i - 1 ) a i - 1 / ( i - 1 ) ( i - 2 )

= - a i - 1 / ( i - 2 )

Passo 3

Por fim, temos que

( i + 2 ) ( i + 1 ) a i + 2 - i ( i - 1 ) a i - 2 i a i + 2 a i + p ( p + 1 ) a i = 0

Ou seja, temos que

a i + 2 = a i ( i 2 + i - p ( p + 1 ) ) ( i + 1 ) ( i + 2 )

Dessa forma, obtemos todos os coeficientes da nossa série de potências

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de EDO, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

Desenvolvimento acima

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