5. Determine todas as soluções da equação dada ao redor do ponto nos casos

Agora vamos com calma, primeiro passe o que está no primeiro somatório para dentro:

A primeira coisa a fazer sempre é deixar tudo com o mesmo expoente de , vemos que o segundo somatório está com a cara de , o que devemos fazer é substituir por , mas substituía em tudo hein!

Sacou?! Vamos só ajeitar as contas:

Então vamos voltar para o somatório, substituindo agora esse somatório que obtivemos agora:

Eita que beleza! Mas ferrou, agora tem um cara começando em e o resto começando em ! Nesses casos, você sempre abre os somatórios que começam antes até o valor do somatório que começa com o maior valor. No caso, o somatório que começa com o maior valor é o do meio, porque ele começa em e o resto em , então vamos abrir os outros para começarem em também!

Substituindo isso:

Opa! Agora que tudo está com o mesmo expoente e começando no mesmo valor, podemos juntar!

Então ficou com essa cara aqui:

Pelo princípio da identidade, isso só é igual a se:

Da primeira equação temos que:

Da segunda, nós temos que:

E da terceira, temos que:

Arrumando mais um pouco:

Agora caímos na famosa relação de recorrência, né? Temos que achar uma forma geral pra ela, a gente só acha testando! Simbora:

Eita, negócio não é fácil, mas vamos com calma. Percebeu que todo com ficou referido a . E todo com ficou , pois o primeiro já era zero, e como os outros dependiam deste, ficaram também.

Assim, com a simplificação, temos para par:

Lá em cima, vimos que

Repara que essa fórmula não está incluindo o , mas ela também serve para essa relação do com o . Assim, podemos começar a nossa relação em

Além disso, não podemos afirmar nada sobre nem sobre , então vamos deixá-lo quietinho.

A resposta fica: