Séries de potências
Considere o problema de valor inicial abaixo:
Considere ainda a expansão em série de potências da solução:
Determine .
Passo 1
Vamos primeiro escrever a solução em forma de série de potências:
E agora vamos calcular suas derivadas e , pra substituir na equação!
Passo 2
E substituindo na equação:
Agora substituindo na primeira série e nas outras, teremos:
Vamos colocar todos somatórios começando de
E somando os coeficientes do termo , vamos ter:
O que nos dá a relação:
E com isso, concluímos que todos os termos de grau par, são múltiplo de . E todos os termos de grau ímpar são múltiplos de .
Passo 3
Teremos, portanto:
Como foi dado no enunciado , verificamos que todos os termos de grau ímpar são nulos! Entãom, chegamos numa expressão pra :
Resposta
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