Considere a equação diferencial
Mostre que é um ponto ordinário para a equação.
Encontre a fórmula de recorrência para os coeficientes da solução em série de potências centrada em , usando a fórmula de Taylor para a exponencial:
Passo 1
Como o termo que multiplica o é um que não se anula em nenhum valor de , dizemos que todos os pontos são ordinários. Em particular, é um ponto ordinário da equação.
Passo 2
Primeiramente, vamos introduzir uma mudança de variáveis:
Assim, a equação fica:
Mais fácil, né?
Passo 3
Agora, vamos supor uma solução em série de potências do tipo
de modo que suas derivadas são dadas por
Passo 4
Substituindo na equação:
Note que a série da exponencial já foi dada no problema! =)
Beleza, e agora? Bom, agora vamos deslocar o índice do primeiro e do último somatório para deixar geral com lá dentro, beleza?
Passo 5
Ok, agora é só substituir ali em cima e começar os somatórios em :
Show, vamos juntar os somatórios então?
Passo 6
Assim, para , podemos obter:
E, para
Passo 7
O mais legal agora é que, como fizemos a mudança de variáveis , e encontramos uma série centrada em , isso é equivalente a encontrar a série centrada em . Então os coeficientes serão exatamente os mesmos!
Assim, a solução deve ser dada por
E da recorrência, obtemos:
Passo 8
Percebeu a regra?
Então aquele numerador se torna
Que é uma soma de uma progressão aritmética:
Portanto,
Passo 9
Para os termos começando em , temos:
Como
Temos:
Passo 10
Finalmente, vamos escrever:
Resposta