Solução em série para EDO – ponto ordinário
Determine a solução geral da equação diferencial em série de potências centrada em e dê o seu raio de convergência
Passo 1
Então vamos supor que a solução seja uma série de potências centrada:
Mas veja que:
Isso porque quando , o termo da de qualquer forma, então não muda nada.
Substituindo isso na EDO:
Vamos juntar isso daí e colocar em evidência!
Tirando a solução triviado, isso só da quando:
Assim caímos na relação de recorrência:
Então vamos verificar isso pelos testes:
Da pra perceber que existem duas sequências, uma para e outra para
Então vamos ver para o par:
Então vemos que a relação é:
Agora para os ímpares:
A relação fica:
Passo 2
Então a solução geral é:
Vamos aplicar o critério da razão para achar o raio de convergência:
Para as duas séries o raio de convergência dá infinito, logo para uma série que representa a soma dessas duas séries o raio de convergência também dará infinito!