- Usar o método de soluções por séries de potências para resolver o seguinte problema de valor inicial:
Determinar o domínio de definição da solução .
- Calcular
Determinar o domínio de definição da solução .
Passo 1
Letra a)
Como o problema pede, vamos solucionar o problema definindo como uma série de potências. Como, para essa questão, temos , qualquer ponto é ordinário, então, podemos escolher uma série centrada em para facilitar nossa vida : )
Passo 2
Vamos, então, definir:
Fazendo essas substituições na EDO , temos:
Passo 3
Precisamos, agora, Igualar as potências de por . Temos:
Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice (nesse caso, ).
Temos, então:
Passo 4
Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.
Como o somatório deve passar a começar em , colocamos para fora o termo correspondente a . Vamos fazer o mesmo para a 3ª série:
Temos, então:
Passo 5
Vamos, então, juntar os somatórios colocando em evidência e agrupar os termos “soltos”.
Passo 6
Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.
Como , temos:
O termo “solto”, fora do somatório também deve ser zero.
Encontramos nossa relação de recorrência.
Passo 7
Vamos agora, calcular alguns ’s.
Temos:
Como , temos:
Agora vamos ver os outros termos, essas são nossas informações iniciais.
Dica: nós podemos saber que a relação entre os termos é feita de em por que a relação de recorrência associa termos a , portanto, com “’s de distância”.
Para os índices pares, temos:
Assim, se , podemos escrever:
Temos um fatorial no denominador (veja que o número do fatorial é o mesmo do índice de ) e temos alternação de sinais. Como o 1º sinal, quando é positivo, podemos dizer que temos , pois . Se você ficar na dúvida quanto ao expoente do , testa alguns termos e vê se dá certo!
Para os índices ímpares, agora, temos:
Assim, se , podemos dizer que , ou seja, todos os ’s de índice ímpar vão ser zero, pois dependem de , que é zero.
Passo 8
Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o .
Passo 9
Letra b)
Agora precisamos calcular , não é? Para isso, precisamos saber quem é , que função é essa. Nós só temos sua representação por série de potências.
Agora vamos usar um algebrismo. Você se Lembra disso aqui?
Provavelmente não! É, também acho vacilo pedirem isso nessa questão gigante, mas fazer o que, né? Vamos lá, não tem jeito!
Explicação: usando a fórmula geral de Taylor em torno do ponto zero, temos . Como qualquer derivada de é , temos .
Beleza, vamos continuar. Substituindo por (por que não!?), temos o seguinte:
Exatamente a resposta do nosso problema, não é? Conclusão:
Essa foi a função que encontramos. Agora podemos calcular o limite:
Finalmente, acabou! : P