Solução de EDO em série – ponto ordinário, Séries de potências
Considere a equação diferencial
- Mostre que o ponto é um ponto ordinário da equação diferencial e dê uma cota inferior para o raio de convergência da solução em séries de potências em torno de .
- Encontre a solução geral da equação diferencial.
- Qual é o raio de convergência da solução que satisfaz e ?
Passo 1
Letra a)
precisamos verificar se o ponto é ordinário. Temos, nesse caso
Logo, é ordinário.
Para encontrar a cota inferior do raio de convergência, temos que saber as raízes de . Nesse caso, quando . A cota inferior é então a menor distância entre as raízes e , nesse caso, .
Passo 2
Letra b)
Vamos, então, definir:
Fazendo essas substituições na EDO, temos:
Passo 3
Precisamos, agora, igualar as potências de por . Temos:
Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice (nesse caso, ).
Temos, então:
Passo 4
Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.
Como o somatório deve passar a começar em , colocamos para fora os termos correspondentes a e . Vamos fazer o mesmo as outras séries:
Temos, então:
Passo 5
Vamos, então, juntar os somatórios colocando em evidência e agrupar os termos “soltos”.
Passo 6
Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.
Os coeficientes de cada termo “solto”, fora do somatório também devem ser zero.
Encontramos nossa relação de recorrência.
Passo 7
Vamos agora, calcular alguns ’s.
Nós podemos saber que a relação entre os termos é feita de em por que a relação de recorrência associa termos a , mas aqui nem precisaremos disso, veja:
Daí em diante, todos os termos serão iguais a zero, pois a sua expressão depende de outro termo anterior que é zero. Portanto, a série é finita.
Passo 8
Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o .
Substituindo as expressões que encontramos para os ’s, temos
Passo 9
Letra c)
Queremos agora o raio de convergência para quando e . Esses dados vão nos fornecer o valor de e , não é? Podemos substituir esses valores na expressão que encontramos, mas isso não vai fazer diferença nenhuma, você vai ver!
Temos um polinômio, não é? Quando que essa série converge? Digo, quando que essa série possui uma soma? Sempre! Essa já é a soma. O raio de convergência de toda solução polinomial é infinito, ou seja: