UFES, São Mateus, Equações Diferenciais, Listas Professora Raniella - EDO 2022.2, Questão 1
Utilizando o método de séries de potências, resolva a EDO a seguir nas proximidades de
Passo 1
Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de EDO. Dessa vez temos que resolver EDO´S de segunda ordem usando séries de potências. E aí? Lembram como resolvemos esse tipo de problema com esse método?
Vamos fazer uma revisão!!!!
Assumimos que a solução da EDO é da seguinte forma
Calculamos
Que pela linearidade da derivada é:
E o
Que pela linearidade da derivada é:
Depois disso substituímos na equação original para podermos encontrar os valores dos coeficientes ´s.
Bora Resolver a EDO
Passo 2
Vamos resolver nossa EDO
Substituindo na expressão
fazendo uma mudança de índice no segundo somatório.
Vamos fazer todos os somatórios começarem do índice
Como é uma igualdade de polinômios, temos que:
, e . Além disso, temos que:
para todo . Isolando
Passo 3
Prontinho, temos a expressão geral para o termo , mas vamos colocar ela em função de . Fazendo
Fazendo
Fazendo
Dessa forma, podemos observar que
Logo a nossa solução é:
com
e
Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de EDO, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!
Resposta
Desenvolvimento acima