UFRJ - Sem Campus - Cálculo 4 - Provas Antigas - PF - 2022.1 - Questão 1
Encontre a relação de recorrência dos coeficientes de uma solução em série de potências em torno de da equação diferencial .
Passo 1
Oiiie, tudo bem?
Nessa questão, temos uma equação diferencial, dada por
Daí imagina que temos uma solução em série de potências em torno de
O que queremos é achar a relação de recorrência dos coeficientes dessa solução.
Mas como fazemos isso?e queremos achar a relação de recorrência dos coeficientes de uma solução em série de potências em torno de . Mas como fazemos isso?
Se temos uma equação diferencial da seguinte forma
em que e não são necessariamente constantes, temos que uma solução para a equação diferencial, pode ser proposta no formato de uma série de potências
Aqui, quando o enunciado diz que queremos a série em torno de , isso significa que o que aparece ali dentro do parênteses vai ser igual a 1.
Se aplicarmos este formato dentro de nossa equação diferencial, poderemos encontrar a nossa relação de recorrência! Mas repara na nossa equação diferencial que temos as derivadas primeira e segunda de . Então antes de substituir na equação, vamos derivar essa solução 2 vezes.
Então essa é nossa estratégia de solução: vamos derivar geral 2 vezes e depois substituir na nossa equação diferencial.
Bora lá!
Passo 2
Queremos que a expansão seja feita em torno de , portanto, temos que e nossa série fica assim
Se derivarmos esta expressão, note que o termo de se anula, pois , desta forma, podemos escrever
Da mesma forma que anteriormente, temos que ao derivar esta expressão, o termo relativo a se anula, e nós temos que a derivada toma a seguinte forma
Nós precisamos substituir as expressões (2), (3) e (4) dentro da equação (1) de forma a encontrar a relação para . No entanto, é conveniente fazermos algumas mudanças de variável primeiro! Saca só!
Passo 3
Se fizermos na equação que , podemos reescrever a soma da seguinte maneira
Mas note que é um índice qualquer, e podemos dar qualquer nome para ele, portanto, a expressão que obtemos acima resulta no mesmo que a seguinte expressão
Vamos guardar este resultado por agora! E trabalhar um pouco com a equação (3). Vem comigo!
Passo 4
Temos a seguinte relação
Mas nós queremos na verdade , mas para que consigamos trabalhar esta relação com maior facilidade vamos somar 1 e tirar 1 desta expressão, da seguinte forma
Se utilizarmos o resultado que obtivemos acima, temos que
Se entrarmos com no somatório, temos que
Por conveniência podemos fazer a mudança de variáveis , e reescrever o segundo somatório como
Novamente, como é apenas o nome do índice, podemos mudar isso a vontade, e podemos escrever que
De forma que temos finalmente
Agora que as equações (6), (5) e (2) estão sendo somadas nos mesmos limites podemos substituí-las dentro da equação (1)! Bora lá!
Passo 5
Substituindo a equação (6), (5) e (2) na equação (1), temos que
É interessante notar que no seguinte termo
podemos começar a soma em , pois, para este valor de , o coeficiente , e sendo assim, podemos dizer que
Mas porquê eu fiz isso? Note que agora todos os somatórios estão no mesmo intervalo na seguinte expressão
Esta equação está agora no formato que precisamos para calcular nossa relação de recorrência! Vamos fazer isso!
Passo 6
Colocando as somas em evidência, assim como o termo de temos que
Ou seja, precisamos que
Podemos juntar os termos de para obter
E se colocarmos em evidência, temos que
E finalmente, temos que
O que dá a nossa relação de recorrência como
É isto que a questão nos pede! Esta relação de recorrência pode ser utilizada para montarmos um conjunto de soluções linearmente independentes, mas isso ficará para outro exercício! Te vejo na próxima! Tchauzinho!