Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

Ver Teoria
Exercício 41123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576

Enunciado

Cálculo – Stewart – Volume 2 – Capítulo 14 – Seção 6 – Exercício 51

(Capítulo 14.6 – Exercício 51) Mostre que a equação do plano tangente ao elipsoide x 2 a 2 + y 2 b ² + z 2 c 2 = 1 no ponto x 0 , y 0 , z 0 pode ser escrita como

x x 0 a 2 + y y 0 b 2 + z z 0 c 2 = 1

Passo 1

Faaala galera! Ó, queremos mostrar que o plano tangente ao elipsoide x 2 a 2 + y 2 b ² + z 2 c 2 = 1 em determinado ponto x 0 , y 0 , z 0 sempre vai ser x x 0 a 2 + y y 0 b 2 + z z 0 c 2 = 1

Pra provar isso, primeiramente fazemos a derivada parcial de cada uma das coordenadas da equação da elipsoide. Montamos o vetor gradiente para pontos genéricos. Com isso, podemos montar a equação do plano tangente e verificar se a proposição da questão está correta. Lembrando que a equação do plano tangente é dada assim

F x x o , y o , z o x - x o + F y x o , y o , z o y - y o + F z x o , y o , z o z - z o = 0

Então vamos

Passo 2

Temos

x 2 a 2 + y 2 b ² + z 2 c 2 = 1

f x , y , z = x 2 a 2 + y 2 b ² + z 2 c 2 - 1

Encontrando as derivadas parciais:

f x = 2 x a 2

f y = 2 y b 2

f z = 2 z c 2

Então o vetor gradiente é

∇ F x , y , z = 2 x a 2 , 2 y b 2 , 2 z c 2

Aplicando no ponto x 0 , y 0 , z 0 :

∇ F x 0 , y 0 , z 0 = 2 x 0 a 2 , 2 y 0 b 2 , 2 z 0 c 2

Passo 3

A equação do plano tangente em ( x o , y o , z o ) é:

F x x o , y o , z o x - x o + F y x o , y o , z o y - y o + F z x o , y o , z o z - z o = 0

2 x 0 a 2 ( x - x 0 ) + 2 y 0 b 2 ( y - y 0 ) + 2 z 0 c 2 ( z - z 0 ) = 0

2 x 0 . x a 2 - 2 x 0 2 a 2 + 2 y 0 . y b 2 - 2 y 0 2 b 2 + 2 z 0 . z c 2 - 2 z 0 2 c 2 = 0

2 x x 0 a 2 + 2 y y 0 b 2 + 2 z z 0 c 2 = 2 x 0 2 a 2 + 2 y 0 2 b 2 + 2 z 0 2 c 2

Cortando o 2 dos dois lados:

x x 0 a 2 + y y 0 b 2 + z z 0 c 2 = x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 + z 0 2 c 2

Tal é verdade desde que ( x o , y o , z o ) seja um ponto do elipsoide.

Então ta provadooo

Passo 4

Resposta

x o a 2 x + y o b 2 y + z o c 2 z = 1 é uma equação do plano tangente.

Exercícios de Livros Relacionados

a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u . f x , y , z = x + y z P 1,3 , 1 u = 2 7 , 3 7, 6 7
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )