UFRJ. Cálculo 2. 2C. 2022.1. Questão 4.
Considere a superfície S dada pela equação . Se o vetor é tangente a em , mostre que .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão, foi dada uma superfície que é descrita pela equação . Foi dado também um vetor que é tangente à superfície no ponto .
Com base nessas informações, temos que mostrar que as coordenadas do vetor se relacionam como .
Entendeu? Então como vamos obter os valores de , e ?? 👀
Primeiro temos que pensar como que calculamos um vetor tangente a uma superfície.
Lembra de uma propriedade de vetores gradientes que diz que o vetor gradiente de uma superfície descreve um vetor normal a ela?
Lembra também que um produto interno entre dois vetores perpendiculares é igual a ?
Perceba que um vetor tangente e um vetor normal a uma superfície são perpendiculares.
Vamos usar essa ideia a nosso favor.
Como um vetor gradiente é obtido pelas derivadas parciais de uma função
Precisamos escrever nossa superfície em forma de função, então se passarmos tudo para um lado da igualdade considerarmos
Agora sim podemos começar nossos cálculos!
Bora lá! 😉
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais de
Por derivada polinomial, vamos obter
Com relação a , temos
Pelo mesmo método de derivação polinomial
Já com relação a
Também pelo método de derivação polinomial
Com isso, nosso vetor gradiente é dado como
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Substituindo o ponto em , vamos obter o vetor normal a nesse ponto
Se o vetor gradiente é perpendicular a , o produto interno entre eles é , precede?
Ou seja
Com isso, temos
Assim provamos a equa�o descrita no enunciado!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
