Considere a superfície S dada pela equação x + 2 = y^2 + z * x . Se o vetor v = (a, b, c) é tangente a S em (1,1, 2) , mostre que 2a + 2b + c = 0 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, foi dada uma superfície S que é descrita pela equação x + 2 = x y 2 + z x . Foi dado também um vetor v = a , b , c que é tangente à superfície S no ponto 1,1 , 2 .

Com base nessas informações, temos que mostrar que as coordenadas do vetor v se relacionam como 2 a + 2 b + c = 0 .

Entendeu? Então como vamos obter os valores de a , b e c ?? 👀

Primeiro temos que pensar como que calculamos um vetor tangente a uma superfície.

Lembra de uma propriedade de vetores gradientes que diz que o vetor gradiente de uma superfície descreve um vetor normal a ela?

Lembra também que um produto interno entre dois vetores perpendiculares é igual a 0 ?

Perceba que um vetor tangente e um vetor normal a uma superfície são perpendiculares.

Vamos usar essa ideia a nosso favor.

Como um vetor gradiente é obtido pelas derivadas parciais de uma função

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Precisamos escrever nossa superfície em forma de função, então se passarmos tudo para um lado da igualdade considerarmos f x , y , z = 0

f x , y , z = x y 2 + z x - x - 2

Agora sim podemos começar nossos cálculos!

Bora lá! 😉

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais de f

∂ f ∂ x = ∂ - x y 2 - z x + x + 2 ∂ x

Por derivada polinomial, vamos obter

∂ f ∂ x = x 1 - 1 y 2 + z x 1 - 1 - x 1 - 1 - 2 · 0 = y 2 + z - 1

Com relação a y , temos

∂ f ∂ y = ∂ x y 2 + z x - x - 2 ∂ y

Pelo mesmo método de derivação polinomial

∂ f ∂ y = x 2 · y 2 - 1 + 0 · z x - 0 · x + 2 = 2 x y

Já com relação a z

∂ f ∂ z = ∂ x y 2 + z x - x - 2 ∂ z

Também pelo método de derivação polinomial

∂ f ∂ z = 0 · x y 2 + z 1 - 1 x - 0 · x + 2 = x

Com isso, nosso vetor gradiente é dado como

∇ f x , y , z = y 2 + z - 1 ,   2 x y , x

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Substituindo o ponto 1,1 , 2 em ∇ f x , y , z , vamos obter o vetor normal a f nesse ponto

∇ f 1,1 , 2 = 1 2 + 2 - 1 ,   2 1 1 , 1

∇ f 1,1 , 2 = 2 ,   2,1

Se o vetor gradiente é perpendicular a v , o produto interno entre eles é 0 , precede?

v · ∇ f = 0

Ou seja

a , b , c · 2 ,   2,1 = 0

Com isso, temos

2 a + 2 b + c = 0

Assim provamos a equa�o descrita no enunciado!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

2 a + 2 b + c = 0

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