Seja T(x, y) = x^2 + y^2 a temperatura numa chapa de aço plana. Dado o ponto P = (3, 4) determine:

b) a direção e sentido a partir do ponto P em que a temperatura aumenta mais rapidamente e a taxa de crescimento da temperatura nessa direção

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu uma função que representa a temperatura em uma chama de aço plana

T ( x ,   y )   =   x 2   +   y 2

E um determinado ponto

P = ( 3,4 )

Agora nesse item o problema pediu para encontrar qual é a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente a partir do ponto P

Mas o que isso significa?

A direção e sentido de maior aumento é sempre a direção do vetor gradiente

E a taxa de crescimento? A taxa é o módulo do gradiente!

Tranquilo?

Partiu começar?

Passo 2

Aplicando o gradiente na função temperatura

T = x 2 + y 2

∇ T = ( 2 x , 2 y )

E aplicado no ponto P 3,4

∇ T 3,4 = ( 6,8 )

Sendo assim a temperatura, a partir do ponto P , aumenta mais rapidamente sua temperatura na direção do vetor ∇ T 3,4 = ( 6,8 )  

Tudo bem até aqui?

E a taxa máxima de crescimento? É o módulo desse vetor

∇ T = 6 2 + 8 2 = 100 = 10

Belezinha?

Até a próxima!

Resposta

∇ T 3,4 = ( 6,8 )

∇ T = 10

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