Obtenha a equação do plano tangente à superfície no ponto

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos relembrar um pouco sobre geometria analítica e fazer um mix disso com nossos conhecimentos sobre vetor gradiente.

Antes de tudo, lembremos que o domínio de uma função de três variáveis é tridimensional e sua imagem quadridimensional. Dessa forma, ao fixarmos uma expressão de três variáveis a um valor constante, estamos então explicitando uma parte de seu domínio, que seria então a superfície de nível.

Agora talvez eu vá atiçar um pouco a memória de vocês:

Para expressarmos uma equação do plano, podemos dizer que ele é constituído pelo produto escalar entre dois vetores: ortogonal ao plano e como a diferença entre dois pontos pertencentes ao plano, de forma que o produto interno entre esses vetores seja zero.

Lembremos que uma das propriedades do vetor gradiente é ser ortogonal às curvas e superfícies de nível, então temos que nosso vetor pode ser o próprio gradiente da função aplicado no ponto; já A pode ser um ponto genérico do plano e B o nosso ponto pedido no enunciado.