Obtenha a equação do plano tangente à superfície x^2 * y - 3y * x + 2 * z^2 - z * y = 10 no ponto (-1,1,2)

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos relembrar um pouco sobre geometria analítica e fazer um mix disso com nossos conhecimentos sobre vetor gradiente.

Antes de tudo, lembremos que o domínio de uma função de três variáveis é tridimensional e sua imagem quadridimensional. Dessa forma, ao fixarmos uma expressão de três variáveis a um valor constante, estamos então explicitando uma parte de seu domínio, que seria então a superfície de nível.

f x , y , z = x 2 y - 3 y x + 2 z 2 - z y = 10

Agora talvez eu vá atiçar um pouco a memória de vocês:

Para expressarmos uma equação do plano, podemos dizer que ele é constituído pelo produto escalar entre dois vetores: n →   ortogonal ao plano e A - B como a diferença entre dois pontos pertencentes ao plano, de forma que o produto interno entre esses vetores seja zero.

n → A - B = 0

Lembremos que uma das propriedades do vetor gradiente é ser ortogonal às curvas e superfícies de nível, então temos que nosso vetor n → pode ser o próprio gradiente da função aplicado no ponto; já A pode ser um ponto genérico do plano e B o nosso ponto ( - 1,1 , 2 ) pedido no enunciado.

Passo 2

Pessoal, agora que sabemos da teoria e dos nossos elementos, podemos montar nosso megazord da seguinte forma:

∇ f - 1,1 , 2 × - 1,1 , 2 - x , y , z = 0

Nosso gradiente é:

f x , y , z = x 2 y - 3 y x + 2 z 2 - z y

∇ f = ( 2 x y - 3 y , x 2 - 3 x - z , 4 z - y )

∇ f - 1,1 , 2 = - 2 - 3 ,   1 - - 3 - 2 ,   8 - 1 = ( - 5 ,   2 ,   7 )

Logo, nosso plano tangente é:

- 5,2 , 7 - 1 - x , 1 - y , 2 - z = 0

Podemos reescrever como:

5 1 + x + 2 1 - y + 7 2 - z = 0

Resposta

5 1 + x + 2 1 - y + 7 2 - z = 0

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