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Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

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Enunciado

Sejam

f x , y , z = x 2 2 + x - 3 y z + 4 z

∇ f = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y

g x , y , z = 2 x + 4 x y + 3 y + z

∇ g = ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 )

k = 2

Calcule:

  1. ∇ k f
  2. ∇ f + g
  3. ∇ f - g
  4. ∇ f g

Passo 1

a )

Pela propriedade do vetor gradiente temos

∇ k f = k ∇ f

Então,

∇ k f = 2 . x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y = ( 2 x + 2 , - 6 z , 8 - 6 y )

Passo 2

b )

Pela propriedade do vetor gradiente temos

∇ f + g = ∇ f + ∇ g

Então,

∇ f + g = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y + ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 ) = x + 4 y + 3 , - 3 z + 4 x + 3,5 - 3 y

Passo 3

c )

Pela propriedade do vetor gradiente temos

∇ f - g = ∇ f - ∇ g

Então,

∇ f - g = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y - ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 ) = x - 4 y - 1 , - 3 z - 4 x - 3,3 - 3 y

Passo 4

d )

Pela propriedade do vetor gradiente temos

∇ f g = g ∇ f + f ∇ g

Então,

∇ f g = ( 2 x + 4 x y + 3 y + z ) x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y + x 2 2 + x - 3 y z + 4 z 2 + 4 y , 4 x + 3,1

∇ f g = 2 x 2 + 2 x + 4 x 2 y + 7 x y + 3 y + x z + z , - 6 x z - 12 x y z - 9 y z - 3 z 2 , 8 x + 10 x y - 12 x y 2 + 12 y - 9 y 2 + 4 z - 3 y z + x 2 + 4 x 2 y 2 + 2 x + 4 x y + 10 y z - 12 y 2 z + 8 z , 2 x 3 + 11 x 2 2 + 3 x - 12 x y z - 9 y z + 16 x z + 12 z , x 2 2 + x - 3 y z + 4 z

∇ f g = 3 x 2 + 4 x + 6 x 2 y + 11 x y + 3 y + 9 z + x z + 10 y z - 12 y 2 z , 2 x 3 + 11 x 2 2 + 3 x + 10 x z - 24 x y z - 18 y z - 3 z 2 + 12 z , x 2 2 + 9 x + 10 x y - 12 x y ² + 12 y - 9 y 2 + 8 z - 6 y z

Resposta

  1. ∇ k f = ( 2 x + 2 , - 6 z , 8 - 6 y )
  2. ∇ f + g = x + 4 y + 3 , - 3 z + 4 x + 3,5 - 3 y
  3. ∇ f - g = x - 4 y - 1 , - 3 z - 4 x - 3,3 - 3 y
  4. ∇ f g = 3 x 2 + 4 x + 6 x 2 y + 11 x y + 3 y + 9 z + x z + 10 y z - 12 y 2 z , 2 x 3 + 11 x 2 2 + 3 x + 10 x z - 24 x y z - 18 y z - 3 z 2 + 12 z , x 2 2 + 9 x + 10 x y - 12 x y ² + 12 y - 9 y 2 + 8 z - 6 y z

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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u . f x , y , z = x + y z P 1,3 , 1 u = 2 7 , 3 7, 6 7
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )