Sejam f x , y , z = x 2 2 + x - 3 y z + 4 z ∇ f = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y g x , y , z = 2 x + 4 x y + 3 y + z ∇ g = ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 ) k = 2 Calcule: ∇ k f ∇ f + g ∇ f - g ∇ f g Passo 1 a ) Pela propriedade do vetor gradiente temos ∇ k f = k ∇ f Então, ∇ k f = 2 . x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y = ( 2 x + 2 , - 6 z , 8 - 6 y ) Passo 2 b ) Pela propriedade do vetor gradiente temos ∇ f + g = ∇ f + ∇ g Então, ∇ f + g = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y + ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 ) = x + 4 y + 3 , - 3 z + 4 x + 3,5 - 3 y Passo 3 c ) Pela propriedade do vetor gradiente temos ∇ f - g = ∇ f - ∇ g Então, ∇ f - g = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y - ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 ) = x - 4 y - 1 , - 3 z - 4 x - 3,3 - 3 y Passo 4 d ) Pela propriedade do vetor gradiente temos ∇ f g = g ∇ f + f ∇ g Então, ∇ f g = ( 2 x + 4 x y + 3 y + z ) x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y + x 2 2 + x - 3 y z + 4 z 2 + 4 y , 4 x + 3,1 ∇ f g = 2 x 2 + 2 x + 4 x 2 y + 7 x y + 3 y + x z + z , - 6 x z - 12 x y z - 9 y z - 3 z 2 , 8 x + 10 x y - 12 x y 2 + 12 y - 9 y 2 + 4 z - 3 y z + x 2 + 4 x 2 y 2 + 2 x + 4 x y + 10 y z - 12 y 2 z + 8 z , 2 x 3 + 11 x 2 2 + 3 x - 12 x y z - 9 y z + 16 x z + 12 z , x 2 2 + x - 3 y z + 4 z ∇ f g = 3 x 2 + 4 x + 6 x 2 y + 11 x y + 3 y + 9 z + x z + 10 y z - 12 y 2 z , 2 x 3 + 11 x 2 2 + 3 x + 10 x z - 24 x y z - 18 y z - 3 z 2 + 12 z , x 2 2 + 9 x + 10 x y - 12 x y ² + 12 y - 9 y 2 + 8 z - 6 y z ² Resposta ∇ k f = ( 2 x + 2 , - 6 z , 8 - 6 y ) ∇ f + g = x + 4 y + 3 , - 3 z + 4 x + 3,5 - 3 y ∇ f - g = x - 4 y - 1 , - 3 z - 4 x - 3,3 - 3 y ∇ f g = 3 x 2 + 4 x + 6 x 2 y + 11 x y + 3 y + 9 z + x z + 10 y z - 12 y 2 z , 2 x 3 + 11 x 2 2 + 3 x + 10 x z - 24 x y z - 18 y z - 3 z 2 + 12 z , x 2 2 + 9 x + 10 x y - 12 x y ² + 12 y - 9 y 2 + 8 z - 6 y z ² MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios Resolvidos de Vetor GradienteVer TeoriaExercício 41235678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576Carregar mais exercícios (76) Exercícios de Livros Relacionadosa) Determine o gradiente de f b Calcule o gradiente no ponto P c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .f(x, y, z) = raiz(x + y * z) P(1,3, 1) u = 〈 2 / 7, 3 / 7, 6 / 7 〉Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f(u, v, w) = u^2 + v^2 - w^2 + u*v*w; P(0,1,0)Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado.x^2 + xy + y^2 - 3y = 1, e m 1,2Seja F(x, y) = - (y / (x^2 + y^2)) i + (x / (x^2 + y^2)) j , (x, y) ≠ (0, 0) .c) F → é conservativo ? Por quê ?Ver TambémVer tudo sobre CálculoVer tudo sobre Funções de Várias VariáveisLista de exercícios de Vetor Gradiente