UFRJ. Cálculo 2. PF. 2022.1. Questão 2.
Seja , onde e são constantes reais. Que condições devem satisfazer as constantes e para que seja um ponto de mínimo relativo de ? Justifique.
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão temos uma função e temos que definir valores para e que fazem o ponto ser um ponto mínimo relativo de .
Tem ideia de como fazemos isso?? 👀
Vamos começar lembrando o que é um ponto mínimo relativo de uma função. Calculando o vetor gradiente de e igualando a um vetor nulo, vamos obter um sistema de duas equações.
A solução dessas duas equações são os possíveis pontos de máximos ou de mínimo, ou seja, são os pontos críticos.
Não queremos todos os pontos, queremos apenas saber do ponto . Para calssificar o ponto, calculamos a segunda derivada de com relação a e se aplicamos as coordenadas do ponto se resultar em um numero positivo, o ponto é um ponto de mínimo.
Entendeu? Bora verificar essa teoria! 😎
Passo 2
Primeiro calculamos o gradiente de , dado por
Derivando com relação a , temos
Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de
Agora derivando com relação a
Pelo método da derivação polinomial onde subtraímos do expoente e multiplicamos a variável pela sua potência.
Com isso, nosso gradiente de é
Igualando ao vetor nulo, vamos obter o sistema
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Queremos forçar a ser um ponto crítico, então
Simplificando a segunda equação, temos que
Agora vamos calcular a segunda derivada de com relação a
Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que a derivada de
Se esse resultado for maior que , o ponto é um ponto de mínimo da função.
Aplicando as coordenadas do ponto
Ou seja, encontramos que
deve ser igual a e ambos devem ser maiores que !
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
