UFF – Cálculo IIB – VR – Questão 3c
Seja a temperatura numa chapa de aço plana. Dado o ponto determine:
c) a taxa de variação da temperatura a partir do ponto na direção de um vetor unitário que faz um ângulo de com o gradiente da temperatura no ponto.
Passo 1
Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu uma função que representa a temperatura em uma chama de aço plana
E um determinado ponto
Precisamos olhar o gradiente no ponto com mais carinho
Esse é a direção do máximo crescimento. Mas queremos em outra direção! Queremos na direção de um vetor unitário qualquer que faça um ângulo de com o nosso gradiente!
Mas o que é mesmo a taxa de variação ao longo de uma direção específica? Isso significa que queremos a derivada direcional!
Então a ideia aqui é aplicar a fórmula da derivada direcional aqui!
Tranquilo?
Partiu começar?
Passo 2
A derivada direcional de na direção de um vetor qualquer é o produto escalar entre esses dois vetores
Tudo bem até aqui?
Temos
Mas não sabemos a cara desse vetor unitário, então fica complicado fazer o produto escalar
Mas temos uma forma alternativa de calcular o produto escalar entre dois vetores, sabendo o ângulo entre eles
E esse ângulo nós sabemos!
Passo 3
Usando o gradiente no ponto
E sabendo que o vetor unitário tem norma
Daí a norma de , substituindo temos a derivada direcional
Belezinha?
Até a próxima!