UERJ, Sem Campus, Cálculo II, P1 - 2023.1, Questão 4a
Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por
a) Determine a taxa de variação do potencial em P (−1, −1, 1) na direção do vetor
v = 2î − ĵ + 2k .
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão define uma função escalar que, para cada ponto do espaço tridimensional com coordenadas (x, y, z) nos retorna o potencial elétrico. Sendo assim, podemos calcular a variação dessa função através do vetor gradiente, definido como:
Esse vetor, em cada ponto do espaço, nos aponta a direção espacial de maior variação da função V(x,y,z) no ponto em questão. No entanto, não é isso que a questão nos pede: ela quer saber a taxa de variação do potencial na direção (2,-1,1) no ponto (-1,-1,1). Para determinar a taxa de variação, precisamos considerar a projeção do gradiente nesse ponto ao longo da direção dada pelo vetor (2,-1,1). Então, primeiro, vamos lá calcular o gradiente do potencial!
Passo 2
Calculando a derivada de V(x,y,z) em relação à x, considerando y e z como constantes e utilizando a regra da cadeia, obtemos
No ponto (-1, -1, 1), essa derivada assume o valor . Agora, calculando a derivada de V em relação à y, considerando dessa vez x e z como constantes, obtemos:
No ponto (-1, -1, 1), a derivada em relação à y assume o mesmo valor acima: . Agora, só precisamos derivar em relação à z: Como x e y são constantes durante essa derivação, e como a derivada da exponencial é ela mesma, temos que a derivada é igual à própria função:
No ponto (-1, -1, 1), essa derivada assume o valor . Então, no ponto (-1, -1, 1), o vetor gradiente é descrito pelas componentes
Então, agora, só precisamos fazer o produto escalar com o vetor v para descobrir a taxa de variação na direção dele. Então bora!
Passo 3
Como o vetor v possui coordenadas (2, -1, 2), vemos que ele não é unitário, pois . Portanto, para definirmos um vetor unitário, de modo que o seu produto escalar com o gradiente nos dê apenas a taxa de variação, precisamos dividir suas componentes pelo seu módulo que, como acabamos de calcular, é igual à . Então, vamos redefinir o vetor v como
Agora sim! Agora podemos fazer o produto escalar do vetor v com o gradiente! Como o vetor gradiente possui coordenadas , temos que o produto escalar desses dois vetores é:
Logo, a taxa de variação do potencial em P (−1, −1, 1) na direção do vetor
v = 2î − ĵ + 2k é .