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Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

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Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 26a

26 Considere a função f cuja lei é dada por f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 .

(a) Encontre a aproximação linear de f x , y , z para x , y , z no ponto 0,3 , 4 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada uma função f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 e nosso objetivo é obter uma aproximação linear de f no ponto 0,3 , 4 .

Lembra como podemos fazer isso? 😬

Para obter o plano tangente a uma função, podemos aplicar uma fórmula dada por

L x , y , x = f a , b , c + f x a , b , c x - a + f y a , b , c y - b + f z a , b , c z - c

Ou seja, temos que calcular as derivadas parciais de f , aplicar o ponto a , b , c e substituir na equação da aproximação linear.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Primeiro vamos calcular a derivada parcial de f em função de x

∂ f ∂ x = ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x

Nesse caso, f é uma função composta, então para o cálculo da sua derivada, temos que aplicar a regra da cadeia.

∂ f ∂ x = ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x ∂ u ∂ u

∂ f ∂ x = 2 x 1 2 u

∂ f ∂ x = x u

Voltando u para x 2 + y 2 + z 2 ...

∂ f ∂ x = x x 2 + y 2 + z 2

Agora fazemos o mesmo para y

∂ f ∂ y = ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y = ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y ∂ u ∂ u

∂ f ∂ y = 2 y 1 2 u

∂ f ∂ y = y u

Se u = x 2 + y 2 + z 2 , então

∂ f ∂ y = y x 2 + y 2 + z 2

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Para z agora, temos

∂ f ∂ z = ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z = ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z ∂ u ∂ u

∂ f ∂ z = 2 z 1 2 u

∂ f ∂ z = z u

Substituindo u

∂ f ∂ z = z x 2 + y 2 + z 2

Aplicando o ponto 0,3 , 4 nas derivadas parciais, temos

∂ f 0,3 , 4 ∂ x = 0 0 2 + 3 2 + 4 2 = 0

∂ f 0,3 , 4 ∂ y = 3 0 2 + 3 2 + 4 2 = 3 5

∂ f 0,3 , 4 ∂ z = 4 0 2 + 3 2 + 4 2 = 5 4

Substituindo o ponto e as derivadas parciais em L x , y , z

L x , y , x = f a , b , c + f x a , b , c x - a + f y a , b , c y - b + f z a , b , c z - c

L x , y , x = 5 + 0 x - 0 + 3 5 y - 3 + 5 4 z - 4

L x , y , x = 5 + 3 5 y - 9 5 + 5 4 z - 5

L x , y , x = 3 5 y + 5 4 z - 9 5

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

L x , y , x = 3 5 y + 5 4 z - 9 5

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