USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 10
Seja uma função de classe tal que . Sabendo que exatamente uma das curvas abaixo tem imagem contida na curva de nível de que contém , assinale a alternativa que contém tal curva.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Passo 1
Bora resolver mais uma questão de prova da POLI? Essa é sobre vetor normal e curvas de nível!
O exercício fala sobre uma função tal que . Ele quer saber, dentre as curvas apresentadas nas alternativas, qual está contida na curva de nível de que contém .
Sabemos que o vetor gradiente é ortogonal às curvas de nível da função. Assim, se estiver contida na curva de nível de , o vetor (vetor tangente à curva) deve ser ortogonal ao vetor no ponto em questão.
Assim, como o gradiente é ortogonal à curva de nível, o vetor tangente deve ser perpendicular a ele no ponto :
sendo que a condição sobre para que estejamos no ponto é:
Passo 2
Para isso temos que testar as alternativas! Vamos começar pela alternativa A:
Derivando cada componente, achamos o vetor tangente:
Para que , temos que
No intervalo considerado, isso só é possível para
Assim,
Vamos ver se esse vetor é ortogonal a :
Essa curva é perfeita! A resposta é alternativa A!
Passo 3
Vamos testar as demais alternativas rapidamente! Na alternativa B, temos . Assim,
Para que , devemos ter . Assim,
Fazendo o produto escalar:
Na afirmativa C: . Logo,
Para que , temos que e . Assim,
Logo,
Passo 4
Na alternativa D: . Logo,
Para que , devemos ter :
Logo,
Por fim, na alternativa E: . Portanto,
Para que , achamos :
Logo,
Resposta
Alternativa A.